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多层网络的超邻接矩阵与超图的表示

所属专题
复杂系统与网络的数学表示
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  1. 两层多重网络：同一组 4 个神经元，层 1 为化学突触（有向），层 2 为电突触（无向）， 层间耦合 ω 连接同一神经元的两个副本，拼成 8×8 的超邻接矩阵；对比“各层相加”的聚合矩阵。
  2. 超图：3 个蛋白复合物作为超边，用关联矩阵 H 表示；团展开得到加权图 H H^T（去掉对角元）， 并展示两个不同的超图团展开后完全相同——团展开会丢失信息。

Output输出图

多层网络的超邻接矩阵与超图的表示：输出图 1

Output文字输出

超邻接矩阵（8×8，左上 = 化学突触层，右下 = 电突触层）:
[[0.  1.  0.  0.  0.5 0.  0.  0. ]
 [0.  0.  1.  0.  0.  0.5 0.  0. ]
 [0.  0.  0.  1.  0.  0.  0.5 0. ]
 [0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.5]
 [0.5 0.  0.  0.  0.  1.  0.  0. ]
 [0.  0.5 0.  0.  1.  0.  0.  1. ]
 [0.  0.  0.5 0.  0.  0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0.5 0.  1.  0.  0. ]]
聚合矩阵 A1 + A2（无法区分 n1–n2 之间是哪种突触）:
[[0. 2. 0. 0.]
 [1. 0. 1. 1.]
 [0. 0. 0. 1.]
 [0. 1. 0. 0.]]
超图关联矩阵 H（行 = 蛋白，列 = 复合物）:
[[1 0 0]
 [1 0 0]
 [1 1 0]
 [0 1 1]
 [0 0 1]]
团展开的加权邻接矩阵 H H^T（去对角）:
[[0 1 1 0 0]
 [1 0 1 0 0]
 [1 1 0 1 0]
 [0 0 1 0 1]
 [0 0 0 1 0]]
“三个二元复合物”的团展开与“一个三元复合物”的团展开相同吗？ True

Code代码

# (1) 两层多重网络：同一组 4 个神经元，层 1 为化学突触（有向），层 2 为电突触（无向），
#     层间耦合 ω 连接同一神经元的两个副本，拼成 8×8 的超邻接矩阵；对比“各层相加”的聚合矩阵。
# (2) 超图：3 个蛋白复合物作为超边，用关联矩阵 H 表示；团展开得到加权图 H H^T（去掉对角元），
#     并展示两个不同的超图团展开后完全相同——团展开会丢失信息。
import networkx as nx
import numpy as np

order = ["n1", "n2", "n3", "n4"]
chem = nx.DiGraph([("n1", "n2"), ("n2", "n3"), ("n3", "n4")])
gap = nx.Graph()
gap.add_nodes_from(order)                    # n3 没有电突触，但仍是该层的节点
gap.add_edges_from([("n1", "n2"), ("n2", "n4")])
A1 = nx.to_numpy_array(chem, nodelist=order)
A2 = nx.to_numpy_array(gap, nodelist=order)
omega = 0.5
I = np.eye(len(order))
supra = np.block([[A1, omega * I], [omega * I, A2]])
print("超邻接矩阵（8×8，左上 = 化学突触层，右下 = 电突触层）:")
print(supra)
print("聚合矩阵 A1 + A2（无法区分 n1–n2 之间是哪种突触）:")
print(A1 + A2)

# 超图：节点 P1..P5，超边 = 复合物
nodes = ["P1", "P2", "P3", "P4", "P5"]
complexes = {"C1": ["P1", "P2", "P3"], "C2": ["P3", "P4"], "C3": ["P4", "P5"]}
H = np.array([[1 if p in members else 0 for members in complexes.values()] for p in nodes])
print("超图关联矩阵 H（行 = 蛋白，列 = 复合物）:")
print(H)
W = H @ H.T
np.fill_diagonal(W, 0)
print("团展开的加权邻接矩阵 H H^T（去对角）:")
print(W)

# 另一个超图：P1–P2、P2–P3、P1–P3 是三个两两复合物，而不是一个三元复合物
H_alt = np.array([[1, 0, 1, 0, 0], [1, 1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 0, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 1]])
W_alt = H_alt @ H_alt.T
np.fill_diagonal(W_alt, 0)
print("“三个二元复合物”的团展开与“一个三元复合物”的团展开相同吗？", np.array_equal(W, W_alt))

# 作图：左为超邻接矩阵（虚线分隔两层与层间耦合块），右为两个超图共同的团展开矩阵
import matplotlib.pyplot as plt

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4.2))
im = ax1.imshow(supra, cmap="Blues", vmin=0, vmax=1)
ax1.axhline(3.5, color="#d6604d", ls="--"); ax1.axvline(3.5, color="#d6604d", ls="--")
labs = [n + "(chem)" for n in order] + [n + "(gap)" for n in order]
ax1.set_xticks(range(8)); ax1.set_xticklabels(labs, rotation=60, fontsize=7)
ax1.set_yticks(range(8)); ax1.set_yticklabels(labs, fontsize=7)
ax1.set_title("Supra-adjacency (omega = %.1f off-diagonal)" % omega, fontsize=10)
fig.colorbar(im, ax=ax1, fraction=0.046)
ax2.imshow(W, cmap="Oranges", vmin=0, vmax=2)
for i in range(5):
    for j in range(5):
        ax2.text(j, i, W[i, j], ha="center", va="center")
ax2.set_xticks(range(5)); ax2.set_xticklabels(nodes); ax2.set_yticks(range(5)); ax2.set_yticklabels(nodes)
ax2.set_title("Clique expansion H H^T: identical for both hypergraphs = %s" % np.array_equal(W, W_alt), fontsize=9)
plt.tight_layout(); plt.show()

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多层网络的超邻接矩阵与超图的表示