知识索引

复杂系统（complex system）：由大量相互作用的组分构成、其整体行为无法由单个组分的性质简单相加得到的系统。整体层面出现而单个组分不具备的性质称为涌现（emergence）。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 复杂系统与涌现
可视化：图与邻接矩阵

图（graph）$G=(V,E)$：由节点集合 $V$（vertices/nodes，共 $N=|V|$ 个）和边集合 $E$（edges/links，共 $M=|E|$ 条）组成，每条边连接一对节点。“网络”通常指真实系统，“图”指它的数学抽象，本站两者混用。部分教材（如 Barabási）用 $L$ 表示边数，本站用 $M$，以免与拉普拉斯矩阵 $L$ 混淆。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 图的定义与基本类型
可视化：图与邻接矩阵

二分图（bipartite graph, bigraph）：节点可以分成两个不相交的集合 $U$ 和 $V$，每条边都连接一个 $U$ 中的节点与一个 $V$ 中的节点，同类节点之间没有边。节点分成三类及以上、边只连接不同类节点的图称为多部图（multipartite graph）。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 二分网络与多部网络
可视化：图与邻接矩阵

多层网络（multilayer network）：由若干层组成，每层是一个网络，同一个物理节点在不同层中的副本称为节点–层（node-layer），层与层之间由层间边相连。所有层节点集合相同、层间边只连接同一节点的不同副本的特殊情形称为多重网络（multiplex network）。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 多层网络、时间网络与超图
可视化：图与邻接矩阵

超图（hypergraph）$H=(V,\mathcal E)$：每条超边（hyperedge）$e\in\mathcal E$ 是节点集合的一个任意子集，而不只是一对节点。超图可以用 $N\times|\mathcal E|$ 的关联矩阵 $H$ 表示：$H_{ie}=1$ 当且仅当节点 $i$ 属于超边 $e$。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 多层网络、时间网络与超图
可视化：图与邻接矩阵

关联矩阵（incidence matrix）：$N\times M$ 矩阵，行是节点、列是边。无定向关联矩阵 $B$ 中 $B_{ie}=1$ 当且仅当节点 $i$ 是边 $e$ 的端点。给每条边任意指定一个方向（$e=(u\to v)$）后得到定向关联矩阵 $\nabla$：$\nabla_{ue}=+1$，$\nabla_{ve}=-1$，其余为 0。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 关联矩阵、度矩阵与拉普拉斯矩阵
可视化：图与邻接矩阵

度矩阵（degree matrix）$D=\operatorname{diag}(k_1,\dots,k_N)$。无向图的拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）定义为 $$L = D - A,\qquad L_{ij}=\begin{cases}k_i, & i=j\\ -1, & i\sim j\\ 0, & \text{否则}\end{cases}$$ 加权图中用强度 $s_i$ 和权重 $w_{ij}$ 代替。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 关联矩阵、度矩阵与拉普拉斯矩阵
可视化：图与邻接矩阵

稀疏网络：边数 $M$ 远小于 $L_{\max}$。理论上常把它表述为：网络增大时平均度 $\langle k\rangle=2M/N$ 保持有限（$M$ 与 $N$ 同阶增长），于是密度 $\rho=\langle k\rangle/(N-1)\to 0$。若 $M$ 与 $N^2$ 同阶增长，则称为稠密网络。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 边列表与稀疏性
可视化：图与邻接矩阵

网络医学（network medicine）：把疾病看作分子网络、细胞网络乃至社会网络扰动的结果，用网络方法研究疾病机制、生物标志物和治疗靶点的研究领域（Barabási、Gulbahce 与 Loscalzo，2011）。

定义见 复杂系统与网络的数学表示 · 网络思维与网络医学
可视化：图与邻接矩阵
论文：人类疾病网络

度（degree）：节点 $i$ 连接的边数，$k_i = \sum_j A_{ij}$。有向网络区分入度 $k_i^{\text{in}} = \sum_j A_{ji}$ 和出度 $k_i^{\text{out}} = \sum_j A_{ij}$；加权网络中把边权相加得到强度（strength）$s_i = \sum_j w_{ij}$（见加权网络的指标）。

定义见 网络结构指标与随机图 · 度、平均度与密度
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支
论文：一组基于“介于性”的中心性度量、“小世界”网络的集体动力学、复杂网络的结构与功能

度分布（degree distribution）$P(k)$：随机选一个节点，其度恰为 $k$ 的概率。若 $N_k$ 个节点的度为 $k$，则 $P(k) = N_k / N$。

定义见 网络结构指标与随机图 · 度分布
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

离心率（eccentricity）：$\varepsilon_i=\max_j d_{ij}$，节点 $i$ 到最远节点的距离。半径为 $\min_i\varepsilon_i$，直径（diameter）为 $D = \max_i\varepsilon_i=\max_{i,j} d_{ij}$。 平均路径长度（average path length；脑网络文献中常称特征路径长度，characteristic path length）：所有节点对之间距离的平均值， $$L = \frac{1}{N(N-1)}\sum_{i \ne j} d_{ij}.$$

定义见 网络结构指标与随机图 · 路径、距离与最短路径算法
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

算例：路径图 1–2–3–4 共有 6 个节点对，距离为 1、1、1、2、2、3，故 $L=10/6\approx1.67$，直径 $D=3$，端点的离心率为 3，中间两点的离心率为 2，半径为 2。

定义见 网络结构指标与随机图 · 路径、距离与最短路径算法
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

局部聚集系数：节点 $i$ 的 $k_i$ 个邻居之间实际存在的边数 $e_i$，与最大可能边数 $k_i(k_i-1)/2$ 之比： $$C_i = \frac{2e_i}{k_i(k_i-1)}.$$ $C_i \in [0,1]$。$C_i=1$ 表示邻居两两相连，$C_i=0$ 表示邻居之间没有任何边。度小于 2 的节点 $C_i$ 无定义，NetworkX 中约定为 0。

定义见 网络结构指标与随机图 · 聚集系数
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

全局效率（global efficiency）： $$E_{\text{glob}}=\frac{1}{N(N-1)}\sum_{i\ne j}\frac{1}{d_{ij}}.$$ 节点效率（nodal efficiency）$E_i=\frac{1}{N-1}\sum_{j\ne i}1/d_{ij}$，即下文的调和中心性，$E_{\text{glob}}$ 是它的平均。 局部效率（local efficiency）：设 $G_i$ 为节点 $i$ 的邻居（不含 $i$）诱导的子图， $$E_{\text{loc}}(i)=E_{\text{glob}}(G_i)=\frac{1}{k_i(k_i-1)}\sum_{j\ne h\in G_i}\frac{1}{d_{jh}^{(G_i)}},\qquad E_{\text{loc}}=\frac1N\sum_iE_{\text{loc}}(i),$$ 其中 $d_{jh}^{(G_i)}$ 是只经过 $i$ 的邻居的最短路径长度。

定义见 网络结构指标与随机图 · 全局效率与局部效率
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

强度（strength）：$s_i=\sum_jw_{ij}$。有向网络区分入强度与出强度。

定义见 网络结构指标与随机图 · 加权网络的指标
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

接近中心性（closeness centrality）：到其他所有节点平均距离的倒数， $$C_C(i)=\frac{N-1}{\sum_{j\ne i}d_{ij}}.$$ 调和中心性（harmonic centrality）：距离倒数的平均， $$C_H(i)=\frac{1}{N-1}\sum_{j\ne i}\frac{1}{d_{ij}}.$$

定义见 网络结构指标与随机图 · 中心性：度、接近与介数
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

介数中心性（betweenness centrality；Freeman 1977）： $$C_B(i)=\sum_{s\ne i\ne t}\frac{\sigma_{st}(i)}{\sigma_{st}},$$ $\sigma_{st}$ 是 $s$ 到 $t$ 的最短路径条数，$\sigma_{st}(i)$ 是其中经过 $i$ 的条数。无向网络中对无序对 $\{s,t\}$ 求和；归一化时除以 $(N-1)(N-2)/2$。

定义见 网络结构指标与随机图 · 中心性：度、接近与介数
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支
论文：一组基于“介于性”的中心性度量

特征向量中心性（eigenvector centrality；Bonacich 1987 系统化）：节点得分正比于邻居得分之和， $$x_i=\frac{1}{\lambda_1}\sum_jA_{ij}x_j,\qquad A\mathbf x=\lambda_1\mathbf x,$$ 取最大特征值 $\lambda_1$ 对应的特征向量。

定义见 网络结构指标与随机图 · 谱类中心性：特征向量、Katz、PageRank 与 HITS
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

k 核（k-core；Seidman 1983）：图中所有节点度都不小于 $k$ 的极大子图。节点的核数（coreness，或 k-shell 指数）$k_s(i)$ 是包含它的最大 k 核的 $k$ 值；核数恰为 $k$ 的节点组成第 $k$ 壳（k-shell）。

定义见 网络结构指标与随机图 · k 核分解与核数
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

Erdős–Rényi 随机网络：$G(N,p)$ 模型中，$N$ 个节点的每一对以概率 $p$ 独立连边；$G(N,M)$ 模型中，从所有可能的边中均匀随机地选出 $M$ 条。$N$ 很大时两者性质相同。（$G(N,p)$ 也常归于 Gilbert 1959。）

定义见 网络结构指标与随机图 · ER 随机网络
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

为什么是 1？沿一条边走到一个新节点，它平均还有多少条“向外”的边？对泊松度分布，剩余度均值为 $\langle k^2\rangle/\langle k\rangle-1=\langle k\rangle$。若每一步平均找到的新节点少于 1 个，探索会像亚临界的分支过程一样很快灭绝；多于 1 个时有正概率无限延续，形成巨分支。一般度分布下的条件 $\langle k^2\rangle/\langle k\rangle>2$ 称为 Molloy–Reed 判据。

定义见 网络结构指标与随机图 · ER 网络的演化与相变
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

小世界性（small-world property）：网络的平均路径长度与同规模随机网络相近（$L \approx L_{\text{rand}}$），而聚集系数远高于随机网络（$C \gg C_{\text{rand}}$）。小世界系数 $\sigma$、$\omega$ 等量化方法见小世界与无标度的统计判别。

定义见 网络结构指标与随机图 · 真实网络与随机网络的比较
可视化：图与邻接矩阵、ER 随机图与巨连通分支

小世界现象（small-world phenomenon）：在规模很大的网络中，任意两个节点之间的典型最短路径长度很短，通常随节点数 $N$ 对数增长，即 $L \sim \ln N$。

定义见 小世界与无标度网络模型 · 小世界现象
可视化：Watts–Strogatz 重连、BA 优先连接

Watts–Strogatz 模型：以重连概率 $\beta \in [0,1]$ 在规则网格与随机网络之间连续插值的网络模型。在一个很宽的中间区间内（例如 $\beta \approx 0.01$–$0.1$），网络同时具有接近规则网格的高聚集系数和接近随机网络的短平均路径——即小世界网络。

定义见 小世界与无标度网络模型 · Watts–Strogatz 小世界模型
可视化：Watts–Strogatz 重连、BA 优先连接

无标度网络（scale-free network）：度分布（至少在尾部）服从幂律 $P(k) \sim k^{-\gamma}$ 的网络。“无标度”指幂律函数的尺度不变性：$P(ak) = a^{-\gamma}P(k)$，把 $k$ 放大任意倍数，分布的形状不变，因此不存在一个“典型”的度。

定义见 小世界与无标度网络模型 · 幂律度分布与无标度网络
可视化：Watts–Strogatz 重连、BA 优先连接
论文：复杂网络对随机故障与蓄意攻击的耐受性、无标度网络上的流行病传播、无标度网络是罕见的

配置模型（configuration model）：给定度序列 $\{k_1,\dots,k_N\}$（$\sum_i k_i=2L$ 为偶数），给节点 $i$ 装上 $k_i$ 个“半边”（stub），把全部 $2L$ 个半边随机两两配对，每一对构成一条边。所有配对方式等概率。

定义见 小世界与无标度网络模型 · 任意度分布网络的生成：配置模型与隐变量模型
可视化：Watts–Strogatz 重连、BA 优先连接
论文：复杂网络的结构与功能

Bianconi–Barabási 适应度模型：每个新节点带 $m$ 条边加入，并从分布 $\rho(\eta)$ 中抽取固定的适应度 $\eta$；新节点连向已有节点 $i$ 的概率正比于 $\eta_ik_i$。度大或适应度高的节点都更容易获得连接。

定义见 小世界与无标度网络模型 · 适应度模型与玻色–爱因斯坦凝聚
可视化：Watts–Strogatz 重连、BA 优先连接

复制–分化模型（duplication–divergence）：每一步随机选一个已有节点 $i$ 复制为 $i'$，$i'$ 继承 $i$ 的全部边；随后进入分化：$i'$（或 $i$ 与 $i'$ 中的一方）以概率 $1-q$ 独立地丢失每条继承来的边（$q$ 为保留概率），并可能以概率 $p$ 与 $i$ 直接相连（对应同源二聚体）。不同文献在“谁丢边”“是否允许新边”“如何处理孤立节点”上有差别。

定义见 小世界与无标度网络模型 · 复制–分化模型
可视化：Watts–Strogatz 重连、BA 优先连接

随机几何图（random geometric graph，RGG）：在 $d$ 维空间（常取单位正方形或立方体）中均匀随机放置 $N$ 个点，两点距离小于半径 $r$ 时相连。

定义见 小世界与无标度网络模型 · 空间网络与随机几何图
可视化：Watts–Strogatz 重连、BA 优先连接

社团（community，也称社区、模块、簇）：网络中的一个节点子集，子集内部的连边相对密集，与子集外部的连边相对稀疏。社团没有唯一的数学定义，不同算法实质上采用了不同的形式化方式（见基本假设与形式化定义）。

定义见 社团结构与社区发现 · 弱关系理论与社团的定义
可视化：模块度与社团划分
论文：社会网络与生物网络中的社团结构、网络中的模块度与社团结构、大规模网络中社团的快速展开

计算复杂性：模块度最大化是 NP 难问题（Brandes 等 2008）。因此所有实用的模块度算法都是启发式的，只能保证得到“好的”而非“最优的”划分。只有在十几个节点以内的网络上，才能穷举全部 $B_N$ 种划分求得精确最优。

定义见 社团结构与社区发现 · 社团的基本假设与形式化定义
可视化：模块度与社团划分

模块度（modularity）： $$Q = \frac{1}{2m}\sum_{i,j}\left[A_{ij} - \frac{k_i k_j}{2m}\right]\delta(c_i, c_j),$$ 其中 $c_i$ 是节点 $i$ 所属的社团，$\delta(c_i,c_j)=1$ 当且仅当 $i,j$ 属于同一社团。等价地按社团求和： $$Q = \sum_{c}\left[\frac{l_c}{m} - \left(\frac{d_c}{2m}\right)^2\right],$$ $l_c$ 为社团 $c$ 内部的边数，$d_c$ 为社团 $c$ 内所有节点的度之和。

定义见 社团结构与社区发现 · 模块度
可视化：模块度与社团划分
论文：网络中的模块度与社团结构、大规模网络中社团的快速展开

边介数：网络中所有节点对之间的最短路径中，经过某条边的数量（若一对节点之间有多条等长最短路径，按比例分摊）。

定义见 社团结构与社区发现 · Girvan–Newman 算法与边介数
可视化：模块度与社团划分
论文：社会网络与生物网络中的社团结构

随机块模型：$n$ 个节点各属于 $B$ 个组之一，组标签 $b_i\in\{1,\dots,B\}$；任意两个节点 $i,j$ 之间是否有边（或有多少条边）相互独立，概率只取决于它们所属的组： $$P(A_{ij}=1)=p_{b_ib_j}.$$ $B\times B$ 矩阵 $p_{rs}$ 描述了组内、组间的连接倾向。$p_{rr}>p_{rs}$ 时为同配的社团结构；$p_{rr}<p_{rs}$ 时为异配结构；还可以描述核心–边缘等其他混合模式。

定义见 社团结构与社区发现 · 随机块模型与统计推断
可视化：模块度与社团划分

映射方程（map equation）：对划分 $M$，描述随机游走每一步所需的平均码长下界为 $$L(M)=q\,H(\mathcal Q)+\sum_{i=1}^{n_c}p_i\,H(\mathcal P_i),$$ 其中 $q=\sum_i q_i$ 为每一步“进入某个模块”的概率（使用索引码本的频率），$H(\mathcal Q)$ 为索引码本的熵；$p_i=q_i+\sum_{\alpha\in i}p_\alpha$ 为使用模块 $i$ 码本的频率（模块内节点的访问概率加上退出概率），$H(\mathcal P_i)$ 为模块码本的熵。熵以 2 为底，单位为比特。

定义见 社团结构与社区发现 · 映射方程与 Infomap
可视化：模块度与社团划分

可检测性阈值：当 $$|c_{\text{in}}-c_{\text{out}}|\le q\sqrt{c}$$ 时，在 $n\to\infty$ 的极限下，没有任何算法能得到与真实分组相关性大于零的划分；当 $|c_{\text{in}}-c_{\text{out}}|>q\sqrt c$ 时，置信传播（belief propagation）等算法可以得到正相关的划分。这一条件也称为 Kesten–Stigum 阈值。

定义见 社团结构与社区发现 · 可检测性阈值
可视化：模块度与社团划分

联合度分布（joint degree distribution，也称度相关矩阵）$e_{jk}$：随机选一条边，其两端节点的度分别为 $j$ 与 $k$ 的概率。无向网络中 $e_{jk}=e_{kj}$，且

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 联合度分布与条件度分布
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

条件度分布 $P(k'\mid k)$：从一个度为 $k$ 的节点出发沿一条边，到达度为 $k'$ 的节点的概率，$P(k'\mid k)=e_{kk'}/q_k$。

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 联合度分布与条件度分布
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

中性（无相关）网络：$e_{jk}=q_j\,q_k$，等价地 $P(k'\mid k)=q_{k'}$ 与 $k$ 无关。

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 联合度分布与条件度分布
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

度相关函数 $k_{nn}(k)$：所有度为 $k$ 的节点的 $k_{nn,i}$ 的平均，

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 邻居平均度函数与相关指数
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

度相关系数（degree assortativity coefficient，Newman, 2002）：一条边两端节点度的 Pearson 相关系数，

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 度相关系数 r
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

结构截断（structural cutoff）$k_s$：度超过 $k_s$ 的两个节点在中性网络中的期望边数超过 1，因而在简单图中无法保持中性。对中性网络，

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 结构截断与结构性异配
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

自然截断（natural cutoff）$k_{\max}$：网络中期望的最大度。对 $p_k\sim k^{-\gamma}$ 的无标度网络，$k_{\max}\sim k_{\min}N^{1/(\gamma-1)}$。

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 结构截断与结构性异配
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

富人俱乐部系数（rich-club coefficient; Zhou & Mondragón, 2004, IEEE Communications Letters）：度大于 $k$ 的 $N_{>k}$ 个节点之间实际边数 $E_{>k}$ 占可能边数的比例，

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 富人俱乐部系数及其归一化
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

归一化富人俱乐部系数（Colizza 等, 2006, Nature Physics）：$\rho_{\text{ran}}(k)=\phi(k)/\phi_{\text{ran}}(k)$，$\phi_{\text{ran}}(k)$ 是同一度序列的保度随机网络的富人俱乐部系数。$\rho_{\text{ran}}(k)>1$（且统计上显著）才是富人俱乐部的证据。

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · 富人俱乐部系数及其归一化
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

$k$-核（$k$-core; Seidman, 1983, Social Networks）：反复删除度小于 $k$ 的节点后剩下的最大子图；其中每个节点在子图内的度都至少为 $k$。

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · k-核分解
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

核数（coreness，core number）$c_i$：节点 $i$ 所属的最大 $k$-核的 $k$。核数为 $k$ 的节点构成 $k$-壳（$k$-shell）。

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · k-核分解
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

$k$-核分解：依次求出所有 $k$-核，得到一组嵌套的子图 $\text{core}_1\supseteq\text{core}_2\supseteq\cdots$。

定义见 度相关性与网络结构的高阶统计 · k-核分解
可视化：BA 优先连接、ER 随机图与巨连通分支

物理连接（physical connection）：两个对象之间存在可直接观察的实体联系，如蛋白质之间的结合、神经元之间的突触、两脑区之间的白质纤维束。

定义见 网络构建与统计验证 · 节点与边的定义
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

统计关联（statistical association）：两个变量的测量值共同变化，如功能连接中 BOLD 时间序列的相关、共表达网络中的表达相关、症状网络中的偏相关。

定义见 网络构建与统计验证 · 节点与边的定义
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

功能关联（functional association）：两个对象参与同一生物学过程的证据，可能整合多种来源，例如 STRING 数据库的综合得分同时纳入实验、共表达、基因组邻近和文本挖掘证据（Szklarczyk 等, 2019, Nucleic Acids Research）。

定义见 网络构建与统计验证 · 节点与边的定义
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

因果或有向关系（causal/directed relation）：一个变量的变化导致另一个变量变化，如转录因子对靶基因的调控、有效连接（effective connectivity）。

定义见 网络构建与统计验证 · 节点与边的定义
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

相关网络的传递性：若 $r_{ij}$ 与 $r_{jk}$ 都较大，$r_{ik}$ 在数学上不可能任意小。相关矩阵必须半正定，这个约束本身就会让相关网络的聚集系数高于随机图（Zalesky 等, 2012, NeuroImage）。这一点在选择零模型时很关键。

定义见 网络构建与统计验证 · 连接强度的估计
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

Granger 因果（Granger causality, GC）：若在已经利用 $Y$ 自身过去（以及其他条件变量 $Z$ 的过去）的基础上，再加入 $X$ 的过去能显著改进对 $Y$ 当前值的预测，就称 $X$ Granger 引起 $Y$，记为 $X\to Y$（Granger, 1969, Econometrica）。

定义见 网络构建与统计验证 · 从时间序列推断有向边
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

绝对阈值（absolute threshold）：保留 $|w_{ij}|>\tau$ 的边，$\tau$ 对所有个体相同，网络密度随个体变化。

定义见 网络构建与统计验证 · 阈值、加权与稀疏化
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

比例阈值（proportional threshold）：每个个体保留最强的前 $p$ 比例的边，所有个体密度相同，也称密度阈值或成本（cost）阈值。

定义见 网络构建与统计验证 · 阈值、加权与稀疏化
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

显著性阈值：对每条边做检验，保留校正后显著的边。边数取决于样本量和效应量。

定义见 网络构建与统计验证 · 阈值、加权与稀疏化
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

最小生成树（minimum spanning tree, MST）：在连通的加权图中，连接全部 $N$ 个节点、总权重最小的 $N-1$ 条边（相关网络中取“最大生成树”，即保留最强连接）。可用 Kruskal（1956, Proceedings of the American Mathematical Society）算法求得。

定义见 网络构建与统计验证 · 阈值、加权与稀疏化
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

指标的均值不等于均值网络的指标。对非线性指标 $f$，一般 $\mathbb E[f(A)]\ne f(\mathbb E[A])$（Jensen 不等式的推论）。“先把 bootstrap 网络平均成一张共识网络再算指标”和“对每个 bootstrap 网络算指标再平均”回答的是不同问题，报告时要写明用的是哪一种。

定义见 网络构建与统计验证 · 边权不确定性向网络指标的传播
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

零模型的逻辑：设观测网络的指标为 $X_{\text{obs}}$，零模型生成 $M$ 个随机网络，指标为 $X_1,\dots,X_M$。若 $X_{\text{obs}}$ 落在零分布的极端位置，结论是：该结构超出了零模型所保留性质能解释的范围。零模型保留的性质越多，检验越严格，结论也越具体。

定义见 网络构建与统计验证 · 零模型与空模型
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

已知节点对应（known node-correspondence, KNC）：两张网络的节点集合相同且一一对应，例如同一脑图谱下不同被试的网络、同一批基因在两种条件下的共表达网络。

定义见 网络构建与统计验证 · 网络之间的距离与相似性
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

未知节点对应（unknown node-correspondence, UNC）：节点集合不同或无法对应，例如不同物种的相互作用组、不同大小的模型网络。只能比较与节点标签无关的结构特征。

定义见 网络构建与统计验证 · 网络之间的距离与相似性
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

随机节点采样：每个节点以概率 $p$ 被纳入，网络为被纳入节点的诱导子图。对应“只研究了一部分基因或蛋白”。

定义见 网络构建与统计验证 · 采样网络与不完整观测
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

随机边采样：每条边以概率 $q$ 被检测到，节点全部保留。对应实验灵敏度有限、每次筛选只能捕获部分相互作用。

定义见 网络构建与统计验证 · 采样网络与不完整观测
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

滚雪球采样（snowball sampling）：从少数种子节点出发，沿边逐层纳入邻居。对应“从已知疾病基因或药物靶点出发，查找其相互作用伙伴”。

定义见 网络构建与统计验证 · 采样网络与不完整观测
可视化：脑网络阈值敏感性、相关与偏相关症状网络

网络传播过程：每个节点处于有限个状态之一（如易感 S、潜伏 E、感染 I、移除 R），状态转移只能沿边发生（感染）或自发发生（潜伏结束、恢复）。网络决定“谁能感染谁”，动力学参数决定“感染得多快、持续多久”。

定义见 网络上的传播与免疫 · 网络传播过程
可视化：网络上的 SIR 传播与免疫、随机失效与蓄意攻击

基本再生数 $R_0$：在完全易感人群中，一个典型感染者在整个感染期内平均直接感染的人数。均匀混合时 $R_0=\beta\langle k\rangle/\mu$。$R_0>1$ 疾病可以流行，$R_0<1$ 疾病消亡。定义传播强度 $\lambda=\beta/\mu$，则流行病阈值为 $\lambda_c=1/\langle k\rangle$。人群分为多类（年龄、度、地区）时，$R_0$ 推广为下一代矩阵的谱半径（Diekmann、Heesterbeek 与 Metz 1990；见再生数与超级传播）。

定义见 网络上的传播与免疫 · 均匀混合下的经典传播模型
可视化：网络上的 SIR 传播与免疫、随机失效与蓄意攻击

流行病阈值消失：对度指数 $2<\gamma\le 3$ 的无标度网络，网络规模 $N\to\infty$ 时 $\langle k^2\rangle\to\infty$，于是 $\lambda_c\to 0$——任意小的传播强度都可能导致大范围流行。原因是枢纽节点既容易被感染（邻居多），又能把病原体传给大量邻居。

定义见 网络上的传播与免疫 · 度异质性与流行病阈值
可视化：网络上的 SIR 传播与免疫、随机失效与蓄意攻击

朋友悖论在免疫中的应用：随机节点的平均度是 $\langle k\rangle$，随机节点的随机邻居的平均度是 $\langle k^2\rangle/\langle k\rangle\ge\langle k\rangle$。熟人免疫正是利用这一点“不看全局也能找到枢纽”。

定义见 网络上的传播与免疫 · 免疫策略
可视化：网络上的 SIR 传播与免疫、随机失效与蓄意攻击

简单传染与复杂传染：简单传染只需一次有效接触（病原体、多数信息）；复杂传染需要来自多个邻居的强化（采纳新行为、改变健康习惯）。对简单传染，长程“捷径”（小世界与无标度网络模型中的小世界重连边）加速传播；对复杂传染，捷径只提供单一来源，作用有限，聚集的局部结构反而更利于传播（Centola 与 Macy 2007，Am J Sociol 称之为“长关系的弱点”）。Centola（2010，Science）的在线实验支持了这一点：健康行为在聚集度高的网络中扩散更多。

定义见 网络上的传播与免疫 · 信息与行为的传播
可视化：网络上的 SIR 传播与免疫、随机失效与蓄意攻击

同步：多个具有自身节律的动力学单元，通过相互作用使其节律（频率或相位）趋于一致的过程。常见类型包括：

定义见 同步与协同动力学 · 同步现象与类型
可视化：Kuramoto 同步
论文：复杂网络中的同步

两条研究线（Arenas 等 2008 的划分，见精读）：

定义见 同步与协同动力学 · 同步现象与类型
可视化：Kuramoto 同步

Kuramoto 序参量： $$r\,e^{i\psi}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}e^{i\theta_j}$$ 把每个振荡器看作单位圆上的一点，$r e^{i\psi}$ 就是这些点的“质心”。$r\in[0,1]$ 度量相位同步程度：$r\approx0$ 表示相位均匀散开（不相干态），$r=1$ 表示完全相位同步；$\psi$ 是平均相位。

定义见 同步与协同动力学 · Kuramoto 模型与序参量
可视化：Kuramoto 同步

同步相变的直觉：固有频率越分散（$g(0)$ 越小），越难同步，需要的耦合越强。临界点附近 $r\propto\sqrt{K-K_c}$，与铁磁体在居里温度附近磁化强度的行为类似——这正是物理学家对它感兴趣的原因。

定义见 同步与协同动力学 · Kuramoto 模型与序参量
可视化：Kuramoto 同步

与传播阈值的对照：SIS 传播阈值 $\lambda_c=\langle k\rangle/\langle k^2\rangle$（或 $1/\Lambda_{\max}$），Kuramoto 同步阈值 $K_c=K_0\langle k\rangle/\langle k^2\rangle$（或 $K_0/\Lambda_{\max}$）。两者形式相同：度越异质，阈值越低。在无标度网络中，枢纽先与其邻居同步，再把同步“扩散”出去，所以开始同步所需的耦合很小；当 $\langle k^2\rangle$ 随 $N$ 发散（度指数 $\gamma\le3$），$K_c\to0$。

定义见 同步与协同动力学 · 网络拓扑与同步阈值
可视化：Kuramoto 同步

拉普拉斯矩阵：对无向（可加权）网络，$L=D-A$，$D=\mathrm{diag}(k_1,\dots,k_N)$ 为度（或强度）矩阵。即 $L_{ii}=k_i$，$L_{ij}=-A_{ij}$（$i\ne j$），每行和为零。其特征值记为 $$0=\mu_1\le\mu_2\le\cdots\le\mu_N .$$ $\mu_2$ 称为代数连通度（algebraic connectivity，Fiedler 1973），对应特征向量称为 Fiedler 向量；$\mu_N/\mu_2$ 称为特征值比（eigenratio）。

定义见 同步与协同动力学 · 拉普拉斯谱与代数连通度
可视化：Kuramoto 同步
论文：复杂网络中的同步

MSF 判据：同步态局部稳定 $\iff$ $\Lambda(\sigma\mu_k)<0$ 对所有 $k=2,\dots,N$ 成立。$\Lambda(\alpha)$ 只取决于节点动力学 $\mathbf F$、耦合方式 $\mathbf H$；网络只通过 $\{\mu_k\}$ 进入。节点动力学与网络结构因此被分离：一个 $\Lambda(\alpha)$ 曲线可以用于任何网络。

定义见 同步与协同动力学 · 主稳定函数与可同步性
可视化：Kuramoto 同步

可同步性：在第 3 类中，特征值比 $\mu_N/\mu_2$ 越小，网络越容易同步（能使同步稳定的耦合强度范围越宽）；在第 2 类中，代数连通度 $\mu_2$ 越大，所需耦合越弱。两个量都只依赖网络结构。

定义见 同步与协同动力学 · 主稳定函数与可同步性
可视化：Kuramoto 同步
论文：复杂网络中的同步

爆发式同步（explosive synchronization, ES）：网络同步相变表现为一级（不连续）相变，序参量跳变，并伴随滞后与双稳。其共同机制是抑制大同步簇的逐步形成：通常同步簇会从小到大逐步吸收节点（连续相变）；若某种结构或动力学约束阻止了小簇的形成，系统会积累到某一点后一次性整体同步。

定义见 同步与协同动力学 · 爆发式同步
可视化：Kuramoto 同步

簇同步（cluster synchronization）：节点被划分为若干簇 $\mathcal C_1,\dots,\mathcal C_q$，同一簇内 $\mathbf x_i(t)=\mathbf x_j(t)$，不同簇的状态不同。

定义见 同步与协同动力学 · 簇同步与奇异态
可视化：Kuramoto 同步

奇异态（chimera state，也译作“嵌合态”）：在相同振荡器、对称耦合的网络中，同步区域与不同步区域稳定共存的状态。“奇异”在于：对称的系统自发打破了对称。

定义见 同步与协同动力学 · 簇同步与奇异态
可视化：Kuramoto 同步

亚稳态（metastability）：系统在多个短暂的、部分同步的构型之间不断切换，既不完全同步，也不完全无序。常用指标是全局（或社团）序参量 $r(t)$ 随时间的标准差（或方差；Shanahan 2010）：$r(t)$ 恒定低（无序）或恒定高（锁定）时，标准差都小；在两者之间频繁起伏时，标准差最大。许多全脑模型在接近同步转变（或节点接近 Hopf 分岔）时亚稳态最高，模拟 FC 与实测 FC 也拟合得最好。

定义见 同步与协同动力学 · 神经质量模型与全脑模型
可视化：Kuramoto 同步

从同步矩阵到网络：对 $N$ 个通道两两计算同步指标，得到 $N\times N$ 的同步矩阵；对它取阈值或保留权重，就得到一个网络，可以用网络结构指标与随机图、小世界与无标度网络模型、社团结构与社区发现中的全部指标分析。脑连接组与动态功能连接中的功能脑网络正是这一思路，只是 fMRI 中多用相关系数代替相位同步；电生理网络的其他方法学问题（源空间分析、微状态）见EEG/MEG 网络与微状态。

定义见 同步与协同动力学 · 从实测信号估计同步
可视化：Kuramoto 同步

共识定理（无向连通网络）：$\mathbf x(t)\to\bar x\,\mathbf 1$，其中 $\bar x=\frac1N\sum_i x_i(0)$ 为初值平均；收敛速度由代数连通度决定，偏离共识的误差约按 $e^{-\mu_2 t}$ 衰减。对强连通的有向网络，也会达成一致，但一致值是初值的加权平均，权重由 $L$ 的左零特征向量给出。

定义见 同步与协同动力学 · 共识动力学
可视化：Kuramoto 同步

点渗流与边渗流。给定网络，点渗流（site percolation）中每个节点以概率 $\phi$ 被保留（以概率 $1-\phi$ 连同其边一起删除）；边渗流（bond percolation，又称键渗流）中每条边以概率 $\phi$ 被保留，节点全部保留。序参量 $P_\infty$（也记作 $S$）是一个随机节点属于巨连通分支的概率；临界占据概率 $\phi_c$ 是 $P_\infty$ 由零变为正值的点。研究失效时常用删除比例 $f=1-\phi$，临界删除比例 $f_c=1-\phi_c$。

定义见 网络鲁棒性、渗流与级联失效 · 渗流理论与网络碎裂
可视化：随机失效与蓄意攻击

度分布生成函数：$G_0(x)=\sum_k P(k)x^k$；剩余度生成函数：$G_1(x)=\dfrac{G_0'(x)}{G_0'(1)}=\dfrac{1}{\langle k\rangle}\sum_k kP(k)x^{k-1}$。沿一条随机边到达的节点，其度为 $k$ 的概率正比于 $kP(k)$（高度节点更容易被边“碰到”），去掉来时的那条边后剩下的 $k-1$ 条边称为剩余度，其分布由 $G_1$ 生成。$G_1'(1)=\dfrac{\langle k^2\rangle-\langle k\rangle}{\langle k\rangle}$ 是平均剩余度。

定义见 网络鲁棒性、渗流与级联失效 · 生成函数方法与 Molloy–Reed 判据
可视化：随机失效与蓄意攻击

增强鲁棒性：若一个网络的随机失效阈值高于同样 $N$、$L$ 的随机网络，$f_c>f_c^{ER}$，称其具有增强鲁棒性。它不要求严格的幂律，只要求 $\langle k^2\rangle$ 明显大于 $\langle k\rangle(\langle k\rangle+1)$。

定义见 网络鲁棒性、渗流与级联失效 · 随机失效与无标度网络
可视化：随机失效与蓄意攻击

R 指标（Schneider 等 2011，PNAS）：按自适应度攻击逐个删除节点，记 $s(Q)$ 为删去 $Q$ 个节点后最大连通分支的节点比例， $$R=\frac{1}{N}\sum_{Q=1}^{N}s(Q).$$ $R$ 即攻击曲线下的面积，取值约在 $1/N$（星形网络）到 $1/2$（完全图）之间，可以比较不同规模的网络。对随机失效或其他攻击策略同样可以定义类似的曲线下面积。

定义见 网络鲁棒性、渗流与级联失效 · 鲁棒性度量：R 指标与功能性指标
可视化：随机失效与蓄意攻击

Motter–Lai 负载模型（Motter 与 Lai 2002，Physical Review E）：假设每对节点之间沿最短路径交换一个单位的流，节点 $i$ 的负载 $L_i$ 即经过它的最短路径数（介数）。容量与初始负载成正比：$C_i=(1+\alpha)L_i$，$\alpha\ge0$ 为容忍参数。移除一个节点后重新计算所有负载，$L_i>C_i$ 的节点失效；重复直到不再有新的失效。用 $G=N'/N$（级联结束后最大分支的相对规模）度量损害。

定义见 网络鲁棒性、渗流与级联失效 · 级联失效：负载重分配
可视化：随机失效与蓄意攻击

合成致死（synthetic lethality）：两个基因各自失活时细胞存活，同时失活时细胞死亡。若肿瘤细胞已经失去基因 A（如抑癌基因突变），抑制 A 的合成致死伙伴 B 就能选择性杀死肿瘤细胞，而保留 A 正常的正常细胞（Kaelin 2005，Nature Reviews Cancer）。遗传相互作用网络以基因为节点，以合成致死或更广义的“双突变表型偏离单突变预期”为边。

定义见 网络鲁棒性、渗流与级联失效 · 合成致死与癌症治疗
可视化：随机失效与蓄意攻击

网络控制的三个要素：

定义见 网络可控性与稳定性 · 动态系统与网络控制
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

可控性：如果存在输入 $\mathbf u(t)$，能在有限时间内把系统从任意初始状态 $\mathbf x(t_0)$ 驱动到任意目标状态 $\mathbf x(T)$，则系统 $(A,B)$ 是可控的。

定义见 网络可控性与稳定性 · 线性系统的可控性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击
论文：复杂网络的可控性、结构脑网络的可控性、网络控制原理预测秀丽隐杆线虫连接组中的神经元功能

Kalman 秩判据：$(A,B)$ 可控，当且仅当可控性矩阵 $$\mathcal C=[B,\;AB,\;A^2B,\;\dots,\;A^{N-1}B]$$ 满秩，即 $\operatorname{rank}\mathcal C=N$。

定义见 网络可控性与稳定性 · 线性系统的可控性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

PBH 判据（Popov–Belevitch–Hautus）：$(A,B)$ 可控，当且仅当对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$， $$\operatorname{rank}[\lambda I-A,\;B]=N ;$$ 等价地，不存在 $A$ 的左特征向量 $\mathbf q^\top$（$\mathbf q^\top A=\lambda\mathbf q^\top$）满足 $\mathbf q^\top B=\mathbf 0$。

定义见 网络可控性与稳定性 · 线性系统的可控性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

可控性 Gramian 与控制能量：上面的输入恰好是能量 $\int\|\mathbf u\|^2dt$ 最小的输入，最小能量为 $\mathbf d^\top W(T)^{-1}\mathbf d$，其中 $\mathbf d=\mathbf x_T-e^{AT}\mathbf x_0$。因此 $W$ 的最小特征值决定了“最难到达的方向”需要多少能量：秩判据只回答能不能控，不回答代价多大。

定义见 网络可控性与稳定性 · 线性系统的可控性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

匹配（matching）：有向图中一组边，任意两条边既不共享起点，也不共享终点。若某节点是某条匹配边的终点，称它为匹配节点，否则为非匹配节点。边数最多的匹配称为最大匹配；所有节点都是匹配节点时称为完美匹配。

定义见 网络可控性与稳定性 · 结构可控性与最大匹配
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击
论文：复杂网络的可控性、输入图：控制复杂网络的隐藏几何结构、寻找控制复杂网络的全部可能输入节点的高效算法

最小输入定理（Liu、Slotine 与 Barabási 2011，Nature）：控制网络所需的最小驱动节点数为 $$N_D=\max\big(N-|M^*|,\;1\big)$$ $|M^*|$ 为最大匹配的边数。若存在完美匹配，$N_D=1$（任选一个节点即可）；否则，最大匹配下的非匹配节点就是驱动节点（driver nodes），对每个驱动节点直接施加独立输入即可控制整个网络。

定义见 网络可控性与稳定性 · 结构可控性与最大匹配
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击
论文：复杂网络的可控性

目标可控性：给定目标节点集合 $T$（$|T|=K$），用输出矩阵 $C_T$ 选出这些节点。若存在输入能在有限时间内把 $\mathbf y=C_T\mathbf x$ 驱动到任意值，则称 $(A,B)$ 对 $T$ 目标可控（输出可控），判据为 $$\operatorname{rank}\big[C_TB,\;C_TAB,\;\dots,\;C_TA^{N-1}B\big]=K .$$

定义见 网络可控性与稳定性 · 目标控制与部分可控
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击
论文：语言模型的稀疏内部控制

可观测性：系统 $\dot{\mathbf x}=A\mathbf x+B\mathbf u$，$\mathbf y=C\mathbf x$，若由一段时间内的 $\mathbf y(t)$ 与 $\mathbf u(t)$ 能唯一确定 $\mathbf x(0)$，则称 $(A,C)$ 可观测。线性判据为可观测性矩阵满秩： $$\mathcal O=\begin{pmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{N-1}\end{pmatrix},\qquad \operatorname{rank}\mathcal O=N .$$

定义见 网络可控性与稳定性 · 可观测性与观测节点
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

对偶原理（Kalman）：$(A,C)$ 可观测 $\iff$ $(A^\top,C^\top)$ 可控。在网络语言中，网络的可观测性等于把每条边反向后网络的可控性。

定义见 网络可控性与稳定性 · 可观测性与观测节点
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

观测节点的必要条件：对任意（线性或非线性）动力学，监测每个根 SCC 中至少一个节点是可观测的必要条件；根 SCC 的个数是最少观测节点数的严格下界。任何状态观测器若不监测这些节点都会失败。

定义见 网络可控性与稳定性 · 可观测性与观测节点
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

反馈顶点集（feedback vertex set, FVS）：删去后使有向图不再含有向环的节点集合。

定义见 网络可控性与稳定性 · 非线性网络的控制
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

FVS 控制定理（Fiedler 等 2013；Mochizuki 等 2013）：对动力学 $\dot x_i=F_i(t,x_i,\mathbf x_{I_i})$（$I_i$ 为 $i$ 的上游邻居），在 $F_i$ 连续、耗散、带衰减等温和条件下，把节点集合 $S$ 的轨迹锁定为某个吸引子上的轨迹，能使其余节点对所有满足条件的非线性函数都收敛到该吸引子，当且仅当 $S$ 是一个 FVS。

定义见 网络可控性与稳定性 · 非线性网络的控制
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

平均可控性（average controllability）：只驱动区域 $i$ 时无限时域 Gramian 的迹 $$\mathrm{AC}_i=\operatorname{tr}W_i,\qquad W_i=\sum_{\tau=0}^{\infty}A^\tau\mathbf e_i\mathbf e_i^\top(A^\top)^\tau .$$ 由 $\operatorname{tr}(W^{-1})\ge N^2/\operatorname{tr}W$，平均可控性越大，沿随机方向的平均控制能量的下界越低；它衡量从该区域把系统推向“许多容易到达的状态”的能力，而且即使 $W$ 接近奇异也能稳定计算。

定义见 网络可控性与稳定性 · 脑网络控制：平均与模态可控性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击
论文：结构脑网络的可控性

模态可控性（modal controllability）：设对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_j$、特征向量矩阵为 $V=[v_{ij}]$， $$\phi_i=\sum_j\big(1-\lambda_j^2\big)v_{ij}^2 .$$ $1-\lambda_j^2$ 大的模态衰减快、难以激发；$\phi_i$ 大表示区域 $i$ 在这些“难以到达”的模态上有较大分量。

定义见 网络可控性与稳定性 · 脑网络控制：平均与模态可控性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击
论文：结构脑网络的可控性

边界可控性（boundary controllability）：基于社团划分，识别位于模块边界、能够调节模块之间耦合或分离的区域。

定义见 网络可控性与稳定性 · 脑网络控制：平均与模态可控性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击
论文：结构脑网络的可控性

Molloy–Reed 判据与临界删除比例。随机网络存在巨连通分支的条件是 $$\kappa=\frac{\langle k^2\rangle}{\langle k\rangle}>2$$ 随机删除比例 $f$ 的节点后，巨分支消失的临界值（Cohen 等 2000，PRL）为 $$f_c=1-\frac{1}{\kappa_0-1}$$ $\kappa_0$ 为原网络的 $\langle k^2\rangle/\langle k\rangle$。

定义见 网络可控性与稳定性 · 结构鲁棒性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

平衡态的线性稳定性：设 $\dot{\mathbf x}=\mathbf f(\mathbf x)$ 有平衡点 $\mathbf x^*$。在其附近线性化，$\dot{\boldsymbol\xi}=J\boldsymbol\xi$，$J=\partial\mathbf f/\partial\mathbf x|_{\mathbf x^*}$ 为雅可比矩阵。若 $J$ 的所有特征值实部为负，$\mathbf x^*$ 局部渐近稳定；若有特征值实部为正，则不稳定。最大实部的绝对值决定扰动衰减的速度。

定义见 网络可控性与稳定性 · 动力学稳定性
可视化：最大匹配、驱动节点与 Kalman 秩检验、随机失效与蓄意攻击

结构连接（structural connectivity, SC）：脑区之间的解剖通路，通常是白质纤维束，用弥散磁共振加纤维追踪重建。它是相对稳定的“道路网”。

定义见 脑连接组：结构与功能连接 · 连接组：结构连接与功能连接
可视化：脑网络阈值敏感性
论文：绘制人类大脑皮层的结构核心、复杂脑网络：结构与功能系统的图论分析、结构脑网络的可控性

功能连接（functional connectivity, FC）：两个脑区活动时间序列之间的统计依赖，最常用皮尔逊相关。它不要求两区之间有直接纤维，只说明“它们一起波动”。

定义见 脑连接组：结构与功能连接 · 连接组：结构连接与功能连接
可视化：脑网络阈值敏感性
论文：复杂脑网络：结构与功能系统的图论分析、动态功能连接：希望、问题与解释

有效连接（effective connectivity）：一个脑区对另一个脑区施加的有向因果影响，需要借助模型估计，如动态因果模型（DCM）或格兰杰因果（见有效连接）。

定义见 脑连接组：结构与功能连接 · 连接组：结构连接与功能连接
可视化：脑网络阈值敏感性

网络密度：$D = \dfrac{2E}{N(N-1)}$，即实际边数与可能边数之比。

定义见 脑连接组：结构与功能连接 · 阈值与加权
可视化：脑网络阈值敏感性

节点强度（strength）：$s_i=\sum_j w_{ij}$，即度的加权版本。强度分布与度分布可以给出不同的“枢纽”：一个节点可以连接很多、但每条都很弱。

定义见 脑连接组：结构与功能连接 · 加权脑网络指标与归一化
可视化：脑网络阈值敏感性

模块内度 $z$ 分数：$z_i=\dfrac{k_{i,s_i}-\bar k_{s_i}}{\sigma_{s_i}}$，其中 $k_{i,s_i}$ 是节点 $i$ 连到自身模块 $s_i$ 内部的边数，$\bar k_{s_i}$ 与 $\sigma_{s_i}$ 是该模块所有节点这一数值的均值与标准差。它衡量节点在本模块内有多“中心”。

定义见 脑连接组：结构与功能连接 · 模块与功能系统
可视化：脑网络阈值敏感性

参与系数 $P_i$：见拓扑指标，衡量节点的连接在模块之间分布得多均匀。

定义见 脑连接组：结构与功能连接 · 模块与功能系统
可视化：脑网络阈值敏感性

多宇宙分析（multiverse analysis）：把流程中每个有合理理由的选择都列出来，组合成所有可能的“分析宇宙”，对每个宇宙都执行一次分析，然后报告结论在这些宇宙中的分布，而不只报告其中一个。它把分析灵活性从隐藏的风险变成可报告的结果（另见研究问题、可复现分析与敏感性分析）。

定义见 脑连接组：结构与功能连接 · 从 fMRI 到结论：分析流程与选择
可视化：脑网络阈值敏感性

动态功能连接：在一次连续记录内，把功能连接视为时间的函数 $C(t)$（$N\times N$ 矩阵），并估计它或它的概括量（状态序列、波动幅度、模块结构随时间的变化）。判断“存在动态”至少需要说明：变化超出了平稳零模型下有限样本的预期，且不能完全由头动、生理噪声和觉醒水平等非神经因素解释。

定义见 动态功能连接与多层脑网络 · 方法谱系与基本假设
可视化：滑动窗口动态功能连接
论文：动态功能连接：希望、问题与解释

用静态零模型检验边时间序列结论：从与观测数据具有相同相关矩阵的多元高斯分布独立抽样（或用相位随机化保留自相关），对替代数据重复同样的分析。若某个结论（如“高 RSS 帧更像整体 FC”）在替代数据中同样出现，它就不能作为“动态”的证据。代码示例用一个完全平稳的模拟数据重现了“高 RSS 帧更像整体 FC”的现象。

定义见 动态功能连接与多层脑网络 · 边时间序列
可视化：滑动窗口动态功能连接

连接状态：在不同时间、不同被试中反复出现的典型连接模式，通常是聚类中心。由此派生的指标包括：

定义见 动态功能连接与多层脑网络 · 连接状态
可视化：滑动窗口动态功能连接

灵活性（flexibility）：脑区 $i$ 在相邻层之间改变社团归属的比例，

定义见 动态功能连接与多层脑网络 · 网络灵活性与动态社团指标
可视化：滑动窗口动态功能连接

相位滞后指数：$\mathrm{PLI}=\big|\langle\operatorname{sign}(\Delta\phi_t)\rangle_t\big|$，其中 $\Delta\phi_t$ 是两信号的相位差（取在 $(-\pi,\pi]$）。若相位差对称地分布在 0 两侧（容积传导的典型表现），PLI 接近 0；若一个信号稳定地领先另一个，PLI 接近 1。wPLI 用交叉谱虚部的幅度加权，降低了相位差接近 0 或 $\pi$ 时符号翻转带来的噪声敏感性。

定义见 动态功能连接与多层脑网络 · EEG/MEG 网络与微状态
可视化：滑动窗口动态功能连接

微状态与 fMRI 连接状态的区别：微状态是毫秒级的头皮电位地形图类别，描述的是全脑电场的整体构型，不是两两连接矩阵；fMRI 连接状态是数十秒级的相关矩阵类别。二者都用聚类，常被类比，但时间尺度和测量对象完全不同，不要混为一谈。

定义见 动态功能连接与多层脑网络 · EEG/MEG 网络与微状态
可视化：滑动窗口动态功能连接

组内相关系数（intraclass correlation coefficient, ICC）：在 $n$ 名被试、每人 $k$ 次测量的设计中，用方差分析的被试间均方 $MS_R$ 与残差均方 $MS_E$ 定义（一致性、双向混合效应形式）

定义见 动态功能连接与多层脑网络 · 动态指标的重测信度
可视化：滑动窗口动态功能连接

症状网络（symptom network）：以症状（通常是量表条目）为节点，以症状之间的统计关联（通常是偏相关或条件对数优势比）为边的网络。

定义见 症状网络与网络精神病学 · 共同原因模型与网络理论
可视化：相关与偏相关症状网络
论文：网络分析：理解精神病理结构的整合性方法、心理网络的估计及其准确性：教程、精神病理学网络分析中的模块控制

网络理论的核心主张（Borsboom, 2017, World Psychiatry）：精神障碍不是某个潜在实体的外在表现，而是症状之间相互因果作用形成的自我维持状态。当症状网络连接足够强时，一个外部诱因（如重大生活事件）激活的症状会通过网络扩散，并在诱因消失后继续维持，系统“卡”在疾病状态中。

定义见 症状网络与网络精神病学 · 共同原因模型与网络理论
可视化：相关与偏相关症状网络

条件独立与边：GGM 中两个症状之间没有边，表示控制其他所有症状后二者不再相关。“失眠–疲乏–注意力差”这条链中，如果失眠与注意力差之间只通过疲乏相关，那么偏相关网络中失眠和注意力差之间就没有边。

定义见 症状网络与网络精神病学 · 偏相关与高斯图模型
可视化：相关与偏相关症状网络

成对马尔可夫性质：GGM 是一种无向图模型（马尔可夫随机场）。图中两点不相邻 ⇔ 给定其余变量后条件独立；多元正态下还进一步有全局马尔可夫性质：若节点集 $C$ 把 $A$ 与 $B$ 在图中分隔开，则 $A\perp B\mid C$。

定义见 症状网络与网络精神病学 · 偏相关与高斯图模型
可视化：相关与偏相关症状网络

Ising 模型：设 $x_i\in\{0,1\}$（也可编码为 $\{-1,1\}$），$p$ 个症状的联合分布为

定义见 症状网络与网络精神病学 · Ising 模型与二值症状数据
可视化：相关与偏相关症状网络

可预测性：节点 $i$ 被网络中其余节点解释的程度。对标准化的连续变量，把 $x_i$ 对其余全部变量做线性回归，残差方差等于 $1/K_{ii}$（$K$ 为相关矩阵的逆），因此

定义见 症状网络与网络精神病学 · 混合图模型与可预测性
可视化：相关与偏相关症状网络

桥中心性（Jones, Ma & McNally, 2021, Multivariate Behavioral Research；R 包 networktools 的 bridge 函数）：给定节点的社团（症状群）划分 $c(\cdot)$，记 $\mathcal B_i=\{j: c(j)\ne c(i)\}$ 为节点 $i$ 所在社团之外的节点。

定义见 症状网络与网络精神病学 · 桥中心性与共病
可视化：相关与偏相关症状网络

零分布：把两组被试合并，随机重新分成同样大小的两组，在每次置换中重新估计两个网络并计算统计量，重复（如 1000 次以上）；$p$ 值是置换统计量不小于观测统计量的比例。

定义见 症状网络与网络精神病学 · 网络比较与跨样本复现
可视化：相关与偏相关症状网络

蛋白质相互作用网络（protein–protein interaction network, PPI）：节点是蛋白质，无向边表示两个蛋白之间存在物理相互作用。细胞内全部蛋白相互作用的集合称为互作组（interactome）。

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 生物分子网络的类型与数据来源
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击
论文：蛋白质网络中的致死性与中心性、酵母蛋白质相互作用网络中动态组织的模块性证据

转录调控网络（transcriptional regulatory network）：节点是转录因子（TF）和靶基因，有向边 TF → 基因表示该转录因子调控该基因的转录，边可带符号（激活 + / 抑制 −）。

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 生物分子网络的类型与数据来源
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击
论文：大肠杆菌转录调控网络中的网络基序

遗传相互作用（genetic interaction，又称上位性 epistasis）：两个基因同时突变的表型偏离了由单突变表型按某个“中性模型”推出的预期。常用乘法模型：设野生型适合度为 1，单突变适合度为 $f_i,f_j$，双突变为 $f_{ij}$，则 $$\varepsilon_{ij}=f_{ij}-f_i f_j .$$ $\varepsilon_{ij}<0$ 为负相互作用（极端情形是合成致死：两个单突变都能存活，双突变致死）；$\varepsilon_{ij}>0$ 为正相互作用（如同一线性通路上的两个基因，第一个坏了，第二个再坏也不会更糟）。

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 生物分子网络的类型与数据来源
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击

二元相互作用（binary interaction）：两个蛋白之间的直接物理接触，典型来源是酵母双杂交。共复合物关系（co-complex association）：两个蛋白出现在同一个被纯化出来的复合物中，彼此不一定直接接触，典型来源是亲和纯化–质谱。

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 相互作用组图谱：检测方法、质量与偏倚
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击

spoke 模型：只连诱饵–猎物，一次拉下 $n$ 个猎物得到 $n$ 条边。matrix 模型：把诱饵与猎物两两相连，得到 $\binom{n+1}{2}=n(n+1)/2$ 条边。

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 相互作用组图谱：检测方法、质量与偏倚
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击

化学计量矩阵 $S\in\mathbb R^{m\times n}$：$m$ 个代谢物、$n$ 个反应，$S_{ij}$ 是代谢物 $i$ 在反应 $j$ 中的化学计量系数（产物为正，底物为负）。通量向量 $v\in\mathbb R^n$ 给出每个反应的速率。代谢物浓度 $x$ 满足 $\dfrac{dx}{dt}=Sv$。

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 代谢网络与通量平衡分析
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击

通量平衡分析（flux balance analysis, FBA；综述见 Orth, Thiele & Palsson, 2010, Nature Biotechnology）：在稳态与上下界约束下，求使某个目标函数最大的通量分布： $$\max_{v}\; c^{\top}v\quad\text{s.t.}\quad Sv=0,\; l\le v\le u .$$ 目标通常是“生物量反应”的通量（按细胞组分比例消耗前体的虚拟反应，代表生长速率）。这是一个线性规划问题。

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 代谢网络与通量平衡分析
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击

疾病模块假说（disease module hypothesis; Barabási, Gulbahce & Loscalzo, 2011, Nature Reviews Genetics）：与同一疾病相关的基因产物在互作组中不是随机散布的，而是倾向于聚集在一个相互连接的局部区域（疾病模块），该区域的扰动导致疾病表型。

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 人类疾病网络与疾病模块
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击

网络基序（network motif; Milo 等, 2002, Science）：在真实网络中出现次数显著多于随机化网络的小型子图模式。显著性常用

定义见 生物分子网络与拓扑特征 · 网络基序：类别与动力学功能
可视化：前馈环的滤波作用、随机失效与蓄意攻击
论文：网络基序：复杂网络的简单构件、大肠杆菌转录调控网络中的网络基序

共表达（co-expression）：两个基因在多个样本中的表达水平共同升降。共表达是关联而不是调控：它可能来自直接调控、共同上游调控者、细胞类型比例差异，甚至批次效应。

定义见 基因调控网络推断与共表达分析 · 网络推断问题：从“一起变化”到“谁调控谁”
可视化：前馈环的滤波作用

金标准（gold standard）：用于评估推断网络的“已知真边”集合，常见来源有模拟网络（已知全部真边）、整理过的调控数据库（如大肠杆菌的 RegulonDB）、ChIP-seq 结合位点、扰动实验。所有真实金标准都不完整，未列入金标准的预测边不一定是假阳性。

定义见 基因调控网络推断与共表达分析 · 推断结果的评估
可视化：前馈环的滤波作用

相互作用组（interactome）：细胞内全部分子相互作用构成的网络，常见做法是把蛋白–蛋白物理相互作用、调控（蛋白–DNA）相互作用、代谢相互作用和激酶–底物关系整合成一张以基因/蛋白为节点的无向网络。

定义见 疾病模块、网络邻近度与药物重定位 · 网络医学：把疾病看作网络的扰动
可视化：网络邻近度与疾病模块

疾病模块（disease module）：与同一疾病相关的基因产物在相互作用组中构成的连通子图；模块内的扰动引起该疾病的表型。实际操作中，把一种疾病的已知相关基因投到相互作用组上，用它们诱导子图的最大连通分支作为可观测的疾病模块。

定义见 疾病模块、网络邻近度与药物重定位 · 疾病模块：定义与检测
可视化：网络邻近度与疾病模块

手算例：$N=20$，$s_0=4$。

定义见 疾病模块、网络邻近度与药物重定位 · 疾病模块检测算法：从种子基因到完整模块
可视化：网络邻近度与疾病模块

网络邻近度（network proximity）：药物靶点与疾病模块在相互作用组中的距离，经度匹配随机基线标准化后的 $z$ 分数。它衡量“药物是否特异地落在疾病模块附近”，而不是“药物离疾病有多少步”。

定义见 疾病模块、网络邻近度与药物重定位 · 网络邻近度
可视化：网络邻近度与疾病模块

互补暴露（complementary exposure）：两种药物的靶点模块在网络上彼此分离（$s_{AB}\ge0$），但都与疾病模块重叠或邻近。它是网络层面对“协同组合”的一个可检验的结构假设。

定义见 疾病模块、网络邻近度与药物重定位 · 药物组合的网络构型
可视化：网络邻近度与疾病模块

元路径（metapath）：知识图谱中由节点类型和边类型构成的模式序列，如“化合物–结合–基因–关联–疾病”。一条元路径对应一类可解释的生物学假设（“药物结合与疾病相关的基因”），以它连接两节点的路径数（经度降权）作为特征，模型的预测可以追溯到具体路径。

定义见 疾病模块、网络邻近度与药物重定位 · 异质网络、知识图谱与图机器学习
可视化：网络邻近度与疾病模块

零模型（null model）：保留真实网络的某些性质（如节点数、边数，或者每个节点的度）而其余部分随机化得到的参照网络。只有与合适的零模型比较，“聚集系数高”“模块度高”“某些基因彼此靠近”这类结论才有意义。常用两种：（1）ER 随机图，只保留节点数和边数；（2）保度随机化（配置模型或双边交换），保留每个节点的度。后者更严格，因为许多性质（如枢纽的存在）由度序列本身决定。更多零模型（加权、空间约束、相关矩阵、节点标签置换）见零模型与空模型。

定义见 网络分析流程与 NetworkX 实践 · 网络分析的一般流程
可视化：图与邻接矩阵、模块度与社团划分
论文：网络基序：复杂网络的简单构件、脑连接的复杂网络指标：用法与解读

计算复杂度速记（$N$ 节点，$M$ 边，稀疏网络）：BFS 单源最短路径 $O(N+M)$；全部节点对最短路径（无权）$O(N(N+M))$；精确介数（Brandes）无权 $O(NM)$、加权 $O(NM+N^2\log N)$；局部聚集系数 $O\!\left(\sum_i k_i^2\right)$，枢纽节点主导计算量；幂迭代每步 $O(M)$；Kamada–Kawai 布局需要全部节点对距离，内存 $O(N^2)$。推导见数学推导与算法。

定义见 网络分析流程与 NetworkX 实践 · 大规模网络的计算策略
可视化：图与邻接矩阵、模块度与社团划分

好的网络图要回答一个问题。“毛线团”式的全网图信息量很小。更好的做法是：按社团着色、节点大小映射某个中心性、只标注关键节点；或者干脆用统计图（度分布、中心性排名条形图、与零模型比较的箱线图）来呈现结论。更多图表原则见研究结果的图表呈现。

定义见 网络分析流程与 NetworkX 实践 · 可视化工具与原则
可视化：图与邻接矩阵、模块度与社团划分

“为什么需要网络”检验：如果把网络去掉、只看单个基因（或单个脑区、单个症状）的统计量，就能回答你的问题，那么网络分析不是必要的。好的网络问题依赖于元素之间的关系：模块、路径、邻近、中心性、动力学。

定义见 研究问题、可复现分析与敏感性分析 · 提出网络研究问题
可视化：脑网络阈值敏感性

预注册：在观察研究结果之前，把假设、数据来源、纳入排除标准、变量定义、主分析方法、推断标准和计划中的敏感性分析写成带时间戳的公开（或暂时封存）文档。预注册不禁止探索性分析，它的作用是让读者区分哪些分析是事先计划的、哪些是事后进行的。

定义见 研究问题、可复现分析与敏感性分析 · 预注册与分析计划
可视化：脑网络阈值敏感性

可复算（reproducible）：用相同的数据、相同的代码和步骤，得到相同的结果。可重复（replicable）：用新的数据、按相同的方法，得到一致的结论。任何计算分析至少要做到可复算；有条件时，用第二个数据集或子样本检验可重复性。

定义见 研究问题、可复现分析与敏感性分析 · 可复算的分析
可视化：脑网络阈值敏感性

经验 $p$ 值与蒙特卡洛标准误：若 $B$ 次置换中有 $b$ 次统计量不小于观测值，推荐的经验 $p$ 值为 $$\hat p = \frac{b+1}{B+1},$$ 它保证在原假设下检验不会过于宽松，且永远不为 0（Phipson & Smyth 2010）。$\hat p$ 的蒙特卡洛标准误近似为 $\sqrt{p(1-p)/B}$。

定义见 研究问题、可复现分析与敏感性分析 · 随机性控制
可视化：脑网络阈值敏感性

敏感性分析（sensitivity analysis）：系统改变关键分析选择，观察主要结论是否保持。若在合理范围内结论都成立，结论是稳健的；若只在某个选择下成立，必须如实报告。把所有合理选择组合起来逐一运行、汇总结果的做法称为多元宇宙分析（multiverse analysis），见多元宇宙分析与设定曲线。

定义见 研究问题、可复现分析与敏感性分析 · 敏感性分析与替代解释
可视化：脑网络阈值敏感性

多元宇宙的规模：若有 $K$ 个分析环节，第 $k$ 个环节有 $m_k$ 种合理选择，则宇宙总数为 $\prod_{k=1}^{K} m_k$。例如 3 种边统计量 × 4 个密度 × 2 个指标 = 24 个宇宙；再加 3 种图谱和 2 种预处理就变成 144 个。

定义见 研究问题、可复现分析与敏感性分析 · 多元宇宙分析与设定曲线
可视化：脑网络阈值敏感性

“与什么比较”写进图里：一张好的网络结果图至少同时包含三样东西——观测值、参照（零模型分布、对照组或另一种分析选择）和不确定性（区间、分布或重复）。缺一样，读者就要回到正文去猜。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 研究结果的图表呈现
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

“方法可复现”标准：一位具备相关背景的研究者，只看你的方法部分（加上你提供的代码），就能从原始数据重新构建出同一个网络、算出同样的数值。数据库版本、阈值、随机种子、软件版本缺一不可。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 科学报告的结构与要点
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

区分“结论错了”与“证据不足”：审阅时最常见的有效意见不是“你的结论是错的”，而是“现有分析还不足以支持这个结论，需要补充某项对照或检验”。前者需要你有反证，后者只需要指出逻辑缺口。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 科学报告的结构与要点
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

有依据的审阅意见：指出问题时说明理由，并尽量提出可检验的改进办法；评价分析和论证，而不是评价人。“这个结果不可信”不是有用的意见；“该结论可能受两组网络密度不同的影响，建议在相同密度下重新比较”是。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 科学报告的结构与要点
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

超图（hypergraph）：$H=(V,E)$，其中每条超边 $e\in E$ 是节点集 $V$ 的任意非空子集，大小 $|e|$ 可以是 2、3 或更多。用关联矩阵 $I\in\{0,1\}^{N\times M}$ 表示：$I_{ie}=1$ 当且仅当节点 $i$ 属于超边 $e$。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 高阶相互作用：超图与单纯复形
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

单纯复形（simplicial complex）：一组单纯形的集合，$k$-单纯形是由 $k+1$ 个节点构成的集合（0-单纯形是节点，1-单纯形是边，2-单纯形是实心三角形，3-单纯形是实心四面体），并且满足向下封闭：若一个单纯形属于复形，它的所有面（子集）也属于复形。超图不要求向下封闭，因此更灵活；单纯复形的封闭性则让它可以使用代数拓扑工具（边界算子、同调、霍奇理论）。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 高阶相互作用：超图与单纯复形
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

团复形（clique complex）：把一个普通网络中每个 $(k+1)$-团都填成 $k$-单纯形得到的单纯复形。它是从两两数据构造高阶对象最常用的方法，但要注意：团复形里的高阶结构完全由两两边决定，并不包含新的群体相互作用信息。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 高阶相互作用：超图与单纯复形
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

过滤（filtration）：一列嵌套的单纯复形 $K_1\subseteq K_2\subseteq\cdots\subseteq K_T$。对加权网络，常见做法是按边权从大到小依次加入边，每一步取团复形。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 拓扑数据分析与持续同调入门
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

时间一致路径（time-respecting path）：一串接触 $(v_0,v_1,t_1),(v_1,v_2,t_2),\dots$，满足 $t_1\le t_2\le\cdots$（可加最大等待时间限制）。只有沿时间一致路径，传染或信息才能从 $v_0$ 到达终点。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 时间网络
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

超邻接矩阵（supra-adjacency）：把 $L$ 层、每层 $N$ 个节点的多重网络写成 $NL\times NL$ 的分块矩阵，对角块是各层邻接矩阵，非对角块是层间耦合。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 多层与相互依赖网络
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击

因果表示学习：Schölkopf 等（2021）讨论了把因果推断与表示学习结合的方向——从高维观测中学习具有因果意义的变量，使模型在分布变化和干预下仍然有效。对生物医学网络而言，这意味着把扰动数据、时间信息和先验网络结合起来，而不是只在观测关联上训练预测模型。这一方向仍处于早期。

定义见 结果呈现与研究前沿 · 网络科学中的可解释性与因果
可视化：图与邻接矩阵、随机失效与蓄意攻击