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同步与协同动力学03 / 16

网络拓扑与同步阈值

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把全连接换成任意网络（邻接矩阵 AA，可以带权）：

dθidt=ωi+K∑jAijsin⁡(θj−θi)\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+K\sum_{j}A_{ij}\sin(\theta_j-\theta_i)

两种阈值近似

异质平均场（Ichinomiya 2004，PRE）：假设度相同的节点统计上等价，节点 ii 感受到的平均场与其度 kik_i 成正比。与传播阈值完全相同的推导给出

Kc=K0⟨k⟩⟨k2⟩,K0=2πg(0)K_c=K_0\,\frac{\langle k\rangle}{\langle k^2\rangle},\qquad K_0=\frac{2}{\pi g(0)}

最大特征值近似（Restrepo、Ott 与 Hunt 2005，PRE）：对每个节点定义局部序参量 rieiψi=∑jAij⟨eiθj⟩r_i e^{i\psi_i}=\sum_jA_{ij}\langle e^{i\theta_j}\rangle，在不相干态附近线性化，得到 Kc≈K0/ΛmaxK_c\approx K_0/\Lambda_{\max}，Λmax\Lambda_{\max} 为 AA 的最大特征值。这一近似不需要“度相同即等价”的假设，适用于有度相关、有社团的网络；对无关联随机网络，Λmax≈⟨k2⟩/⟨k⟩\Lambda_{\max}\approx\langle k^2\rangle/\langle k\rangle，两者一致。

与传播阈值的对照：SIS 传播阈值 λc=⟨k⟩/⟨k2⟩\lambda_c=\langle k\rangle/\langle k^2\rangle（或 1/Λmax1/\Lambda_{\max}），Kuramoto 同步阈值 Kc=K0⟨k⟩/⟨k2⟩K_c=K_0\langle k\rangle/\langle k^2\rangle（或 K0/ΛmaxK_0/\Lambda_{\max}）。两者形式相同：度越异质，阈值越低。在无标度网络中，枢纽先与其邻居同步，再把同步“扩散”出去，所以开始同步所需的耦合很小；当 ⟨k2⟩\langle k^2\rangle 随 NN 发散（度指数 γ≤3\gamma\le3），Kc→0K_c\to0。

算例：环（每个节点度为 2）上 ⟨k⟩/⟨k2⟩=1/2\langle k\rangle/\langle k^2\rangle=1/2，Kc=K0/2K_c=K_0/2；星图（1 个中心、N−1N-1 个叶）上 ⟨k⟩=2(N−1)/N\langle k\rangle=2(N-1)/N，⟨k2⟩=(N−1)2/N+(N−1)/N=(N−1)\langle k^2\rangle=(N-1)^2/N+(N-1)/N=(N-1)，比值约为 2/N2/N，N=100N=100 时异质平均场预测的 KcK_c 只有环的约 1/25。（星图很小、度极端，平均场近似本身并不精确，这只说明趋势。）

同步的路径

阈值只描述起点。Arenas 等（2008）综述了数值结果：在 ER 网络中，许多小的同步团簇分散出现，再合并；在无标度网络中，包含枢纽的核心先同步，再逐步吸收周围节点。本站代码示例（N=300N=300，平均度相同）中，异质平均场预测 BA 网络 Kc≈0.14K_c\approx0.14、ER 网络 Kc≈0.23K_c\approx0.23，模拟的 r(K)r(K) 曲线中 BA 网络确实更早上升，但当 KK 较大时两者接近。

网络 Kuramoto 模型中有两种常见的耦合写法：K∑jAijsin⁡(⋅)K\sum_jA_{ij}\sin(\cdot)（总输入随度增长）与 Kki∑jAijsin⁡(⋅)\frac{K}{k_i}\sum_jA_{ij}\sin(\cdot)（按度归一化）。后者中枢纽不再“更强”，⟨k⟩/⟨k2⟩\langle k\rangle/\langle k^2\rangle 的结论不再成立。比较不同文献的 KcK_c 时，先确认用的是哪一种写法，以及 KK 是否除以了 NN 或 ⟨k⟩\langle k\rangle。

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