模块结构与分层同步

Arenas、Díaz-Guilera 与 Pérez-Vicente（2006，PRL）在具有层次社团结构的网络上模拟相同振荡器的 Kuramoto 动力学，发现同步按层次出现：先在最小的社团内部同步，再到更大的社团，最后全局同步。各阶段的时间尺度与拉普拉斯谱中的“间隙”对应，因此同步过程本身可以用来发现社团——这把社团结构与社区发现与同步动力学联系起来。

为什么是拉普拉斯谱？相同振荡器在同步态附近的线性化就是共识动力学 $\dot{\boldsymbol\theta}=-K L\boldsymbol\theta$，第 $k$ 个模式按 $e^{-K\mu_kt}$ 衰减。如果网络有 $c$ 个弱连接的社团，就会有 $c-1$ 个很小的特征值（社团之间的“慢模式”），与其余特征值之间存在明显间隙：快模式先衰减（社团内同步），慢模式后衰减（社团之间同步）。本站代码示例中，4 个社团的网络在 $t=20$ 时社团内平均 $r\approx0.98$，而全局 $r$ 只有约 0.46。

另一类与模块结构有关的现象是不连续的同步相变，见爆发式同步。