时滞与噪声

真实系统中的耦合不是瞬时的，振荡器也不是确定性的。时滞和噪声都会改变同步阈值，有时还会产生新的现象。

时滞

大脑中，信号沿轴突传导需要时间：长程纤维长度可达十几厘米，传导速度从每秒数米到数十米，延迟可达数毫秒到数十毫秒，与 γ 振荡（约 25 ms 周期）同一量级。带时滞的 Kuramoto 模型为

$$\dot\theta_i(t)=\omega_i+\frac{K}{N}\sum_j\sin\big(\theta_j(t-\tau_{ij})-\theta_i(t)\big).$$

Yeung 与 Strogatz（1999，PRL）分析了均匀时滞 $\tau$ 的情形。对相同的振荡器（$\omega_i=\omega$），同相同步解 $\theta_i=\Omega t$ 的集体频率满足

$$\Omega=\omega-K\sin(\Omega\tau),$$

且该解稳定要求 $K\cos(\Omega\tau)>0$。由此得到几条结论：

• 时滞降低集体频率（$\Omega<\omega$ 当 $\sin(\Omega\tau)>0$）；
• $\tau$ 较大时方程有多个解，多个同步态共存（多稳态），系统落在哪个取决于初始历史；
• 某些 $\tau$ 下同相态不稳定，反相或行波态可能取而代之。

算例（本站代码）：$\omega=1,\ K=1$。$\tau=0.5$ 时唯一解 $\Omega\approx0.671$；$\tau=1.5$ 时 $\Omega\approx0.416$；$\tau=2.5$ 时有三个解 $\Omega\approx0.307,\ 1.438,\ 1.975$，其中 0.307 与 1.975 满足 $K\cos(\Omega\tau)>0$ 为稳定，从相近初值出发的模拟落在 0.307。

时滞在全脑模型中非常重要：Cabral 等（2011，NeuroImage）把以 γ 频段振荡的 Kuramoto 振荡器放在人脑结构连接组上，用纤维长度除以传导速度作为时滞，发现只有在适当的耦合强度与传导速度下，模型才能重现 fMRI 静息态功能连接中的慢波相关结构（见神经质量模型与全脑模型）。

噪声

在每个振荡器上加独立白噪声：$d\theta_i=[\omega_i+Kr\sin(\psi-\theta_i)]dt+\sqrt{2D}\,dW_i$。噪声把相位“抖散”，与频率分散的作用类似。不相干态的线性稳定性分析（Sakaguchi 1988；Strogatz 与 Mirollo 1991）给出

$$K_c=\frac{2}{\displaystyle\int\frac{D\,g(\omega)}{D^2+\omega^2}d\omega}.$$

两种特例：相同振荡器（$g=\delta$）$K_c=2D$；洛伦兹分布 $K_c=2(\gamma+D)$——噪声强度直接加在频率分布的半宽上。本站代码（$N=2000,\ \gamma=0.5$）中，$D=0$ 时 $r(K{=}2)\approx0.71$，$D=0.5$ 时理论 $K_c=2$，$r(K{=}2)$ 降到约 0.14，到 $K=3$ 才回升到约 0.64。