簇同步与奇异态

完全同步与完全不同步之间，还有许多“部分有序”的模式：一些节点同步、另一些不同步；或者网络分成几组，组内同步、组间相位不同。这些模式与网络的对称性密切相关。

簇同步与网络对称性

哪些划分可能成为簇同步模式？关键是“同一簇的节点必须收到相同的输入”。

• 对称性（自同构）：若置换 $\pi$ 把网络映成自身（$A_{\pi(i)\pi(j)}=A_{ij}$），节点又相同，则动力学方程在 $\pi$ 下不变。自同构群把节点分成轨道，轨道内节点“地位相同”，“每条轨道内状态相同”是动力学的一个不变子空间。Pecora 等（2014，Nature Communications）用群论（不可约表示）把同步态附近的扰动按对称性分块，从而计算每个簇模式的稳定性；他们还发现了孤立失同步（isolated desynchronization）：某一簇可以单独失去同步，而其他簇保持同步。Sorrentino 等（2016，Science Advances）进一步给出了簇同步稳定性的完整刻画。
• 等价划分（equitable partition）：比对称性更弱的条件——每个簇 $\mathcal C_a$ 中的节点，连向簇 $\mathcal C_b$ 的边数都相同。等价划分同样保证簇同步子空间不变，可以出现在没有任何对称的网络中。

算例：星图的中心构成一条轨道，所有叶节点构成另一条轨道。叶节点之间没有直接连接，却可以通过中心彼此同步，而中心本身与它们状态不同——这称为远程同步（remote synchronization）。Nicosia 等（2013，PRL）指出远程同步揭示了网络的对称结构，可用于识别结构上等价的功能模块。本站代码中，用 Stuart–Landau 振子（中心固有频率 3，叶节点 1）模拟 1+6 节点星图，叶节点状态差收敛到数值零，中心的振幅（约 0.74）和相位与叶节点（约 0.92）不同。

奇异态（chimera）

Kuramoto 与 Battogtokh（2002）在非局域耦合的环形相振荡器中最早报告了这一现象；Abrams 与 Strogatz（2004，PRL）把它命名为 chimera，并对环形模型给出了解析描述。最简单的模型是两组相同振荡器，组内耦合 $\mu$ 强于组间耦合 $\nu$，采用 Sakaguchi–Kuramoto 耦合 $\sin(\theta_j-\theta_i-\alpha)$，$\alpha$ 略小于 $\pi/2$：在一定参数范围内，一组完全同步，另一组保持部分不相干。奇异态的出现需要非局域（不是最近邻、也不是全局均匀）的耦合结构和相位滞后；Panaggio 与 Abrams（2015，Nonlinearity）给出了系统综述。Shanahan（2010，Chaos）在社团结构的振荡器网络中观察到“亚稳态的奇异态”：哪个社团同步、哪个不同步随时间切换，并据此提出了度量亚稳态的指标（见全脑模型）。