Kuramoto 模型与序参量 · 生物医学网络科学

模型

只用一个变量——相位 $\theta_i\in[0,2\pi)$ ——描述每个振荡器。Kuramoto（1975）提出：

$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac{K}{N}\sum_{j=1}^{N}\sin(\theta_j-\theta_i),\qquad i=1,\dots,N$

$\omega_i$ 是固有频率，从分布 $g(\omega)$ 中抽取； $K$ 是耦合强度；正弦项使相位落后的振荡器加速、领先的减速。这是全连接（每个振荡器与所有其他振荡器耦合）的版本。

为什么只用相位就够？任何稳定的极限环振荡器在弱耦合下，振幅几乎不变，相互作用主要改变相位；对相位做平均（相位约化）后，耦合函数取决于相位差 $\Gamma(\theta_j-\theta_i)$ 。Kuramoto 模型就是取 $\Gamma$ 的第一个傅里叶分量。若保留一个相位偏移，得到 Sakaguchi–Kuramoto 模型 $\sin(\theta_j-\theta_i-\alpha)$ ，它常用于模拟有传导延迟的系统，也是奇异态出现的条件之一。

序参量

Kuramoto 序参量： $r\,e^{i\psi}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}e^{i\theta_j}$ 把每个振荡器看作单位圆上的一点， $r e^{i\psi}$ 就是这些点的“质心”。 $r\in[0,1]$ 度量相位同步程度： $r\approx0$ 表示相位均匀散开（不相干态）， $r=1$ 表示完全相位同步； $\psi$ 是平均相位。

直观例子：4 个振荡器相位分别为 $0,\pi/2,\pi,3\pi/2$ ，四个单位向量相加为零， $r=0$ ；若相位为 $0,0.1,-0.1,0$ ，则 $r\approx0.995$ 。

有限个独立随机相位的 $r$ 并不为 0，而是约为 $1/\sqrt N$ 量级（ $N=100$ 时约 0.09）。判断是否同步要看 $r$ 是否显著高于这个基线，并取时间平均。另一个陷阱：两个反相的大簇（各占一半）也会给出 $r\approx0$ ，所以 $r$ 小不等于“没有组织”。必要时计算二阶序参量 $r_2=|\langle e^{2i\theta}\rangle|$ 或看相位分布。

平均场形式与临界耦合

利用序参量，方程可改写为

$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+Kr\sin(\psi-\theta_i)$

每个振荡器只与“平均场” $(r,\psi)$ 耦合，平均场又由所有振荡器决定——这是一个自洽问题。在以平均频率旋转的参照系中（取 $g$ 对称、中心为 0）：

若 $|\omega_i|\le Kr$ ，振荡器被锁定在 $\theta_i=\psi+\arcsin(\omega_i/Kr)$ ；
若 $|\omega_i|>Kr$ ，振荡器漂移，绕圆旋转，对 $r$ 的平均贡献为零。

自洽条件给出临界耦合强度：

$K_c=\frac{2}{\pi g(0)}$

$K<K_c$ 时只有不相干解 $r=0$ ； $K>K_c$ 时出现部分同步， $r$ 连续增长。对洛伦兹（柯西）分布 $g(\omega)=\dfrac{\gamma}{\pi(\omega^2+\gamma^2)}$ ，有精确解

$K_c=2\gamma,\qquad r=\sqrt{1-\frac{K_c}{K}}\quad(K>K_c)$

计算例： $\gamma=0.5$ ，则 $K_c=1$ ； $K=2$ 时 $r=\sqrt{0.5}\approx0.71$ ； $K=4$ 时 $r\approx0.87$ 。对标准差为 $\sigma$ 的高斯分布， $g(0)=1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ ， $K_c=2\sigma\sqrt{2\pi}/\pi\approx1.60\,\sigma$ 。本站代码第一个示例（ $N=500$ ）模拟得到 $K=2$ 时 $r\approx0.70$ ， $K=3$ 时 $r\approx0.81$ ，与理论值 0.71、0.82 相符。

同步相变的直觉：固有频率越分散（ $g(0)$ 越小），越难同步，需要的耦合越强。临界点附近 $r\propto\sqrt{K-K_c}$ ，与铁磁体在居里温度附近磁化强度的行为类似——这正是物理学家对它感兴趣的原因。

自洽方程与平方根标度的推导、以及对洛伦兹分布把无穷维系统严格约化为一个关于 $r$ 的常微分方程的 Ott–Antonsen 方法，见数学推导与算法。

模型

序参量

平均场形式与临界耦合

继续阅读