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网络上的传播与免疫03 / 17

度异质性与流行病阈值

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均匀混合假设每个人能感染任何人。真实传播只能沿边进行，而且节点的度差别巨大。异质平均场（heterogeneous mean-field, HMF）方法把度相同的节点归为一类，记 ik(t)i_k(t) 为度为 kk 的节点中感染者比例。以 SIS 为例：

dikdt=βk[1−ik]Θ(t)−μik,Θ=∑k′k′P(k′)ik′⟨k⟩\frac{di_k}{dt}=\beta k\,[1-i_k]\,\Theta(t)-\mu i_k,\qquad \Theta=\frac{\sum_{k'}k'P(k')\,i_{k'}}{\langle k\rangle}

Θ\Theta 是“随机沿一条边走到的邻居是感染者”的概率。注意权重是 k′P(k′)/⟨k⟩k'P(k')/\langle k\rangle 而不是 P(k′)P(k')：沿边走更容易走到高度节点（这就是“朋友悖论”）。线性化后可得 Pastor-Satorras 与 Vespignani（2001，PRL）的经典结果：

λcSIS=⟨k⟩⟨k2⟩,λcSIR=⟨k⟩⟨k2⟩−⟨k⟩\lambda_c^{\text{SIS}}=\frac{\langle k\rangle}{\langle k^2\rangle},\qquad \lambda_c^{\text{SIR}}=\frac{\langle k\rangle}{\langle k^2\rangle-\langle k\rangle}

流行病阈值消失：对度指数 2<γ≤32<\gamma\le 3 的无标度网络，网络规模 N→∞N\to\infty 时 ⟨k2⟩→∞\langle k^2\rangle\to\infty，于是 λc→0\lambda_c\to 0——任意小的传播强度都可能导致大范围流行。原因是枢纽节点既容易被感染（邻居多），又能把病原体传给大量邻居。

估算示例：ER 随机网络 ⟨k⟩=6\langle k\rangle=6，泊松分布有 ⟨k2⟩=⟨k⟩2+⟨k⟩=42\langle k^2\rangle=\langle k\rangle^2+\langle k\rangle=42，λcSIR=6/36≈0.17\lambda_c^{\text{SIR}}=6/36\approx0.17，正好等于 1/⟨k⟩1/\langle k\rangle，与均匀混合一致。若一个同样平均度的无标度网络 ⟨k2⟩=90\langle k^2\rangle=90，则 λcSIR=6/84≈0.07\lambda_c^{\text{SIR}}=6/84\approx0.07，阈值降到约 40%。

阈值公式也给出了网络上的再生数：R0=λ⟨k2⟩−⟨k⟩⟨k⟩R_0=\lambda\,\dfrac{\langle k^2\rangle-\langle k\rangle}{\langle k\rangle}。被感染者是“沿边走到的人”，其平均剩余度（excess degree）⟨k2⟩−⟨k⟩⟨k⟩\frac{\langle k^2\rangle-\langle k\rangle}{\langle k\rangle} 比 ⟨k⟩\langle k\rangle 大，度越异质差得越多。减去的 ⟨k⟩\langle k\rangle（即剩余度中的“−1”）来自“传染给自己的那条边不能再用来传播”；SIS 中这条边上的感染者会恢复，之后还可以被回传，所以 SIS 的阈值没有这一项。

三种模型的网络解：一张对照表

Barabási《Network Science》10.B 节把 HMF 下三种模型的早期行为放在一起比较。记 τ\tau 为早期指数增长 i∝et/τi\propto e^{t/\tau} 的特征时间：

模型 早期特征时间 τ\tau 阈值 λc\lambda_c 无标度网络（γ≤3\gamma\le3）中 N→∞N\to\infty
SI ⟨k⟩β(⟨k2⟩−⟨k⟩)\dfrac{\langle k\rangle}{\beta(\langle k^2\rangle-\langle k\rangle)} 无（必然传遍） τ→0\tau\to0：瞬时传遍
SIS ⟨k⟩β⟨k2⟩−μ⟨k⟩\dfrac{\langle k\rangle}{\beta\langle k^2\rangle-\mu\langle k\rangle} ⟨k⟩⟨k2⟩\dfrac{\langle k\rangle}{\langle k^2\rangle} λc→0\lambda_c\to0
SIR ⟨k⟩β⟨k2⟩−(β+μ)⟨k⟩\dfrac{\langle k\rangle}{\beta\langle k^2\rangle-(\beta+\mu)\langle k\rangle} ⟨k⟩⟨k2⟩−⟨k⟩\dfrac{\langle k\rangle}{\langle k^2\rangle-\langle k\rangle} λc→0\lambda_c\to0

传播的早期速度也受异质性影响。Barthélemy 等（2004，PRL）证明网络上 SI 模型的特征时间如表所示；无标度网络中 τ→0\tau\to0，而且感染呈现层级顺序：先感染枢纽，再扩散到中等度节点，最后到达低度节点。这一“先枢纽后外围”的顺序正是接触追踪与监测中“社交网络传感器”的理论基础。

淬火平均场与度相关

HMF 只用度分布。若把每个节点单独作为变量（个体平均场，也叫淬火平均场 QMF 或 NIMFA），记 ρi\rho_i 为节点 ii 被感染的概率：

dρidt=−μρi+β(1−ρi)∑jAijρj.\frac{d\rho_i}{dt}=-\mu\rho_i+\beta(1-\rho_i)\sum_jA_{ij}\rho_j .

在 ρ=0\rho=0 处线性化，增长矩阵为 βA−μI\beta A-\mu I，于是阈值为 λc=1/Λmax\lambda_c=1/\Lambda_{\max}，Λmax\Lambda_{\max} 是邻接矩阵的最大特征值（Wang、Chakrabarti 等的工作，正式发表见 Chakrabarti 等 2008；Van Mieghem、Omic 与 Kooij 2009）。对无度相关的网络，Λmax\Lambda_{\max} 大致取 kmax\sqrt{k_{\max}} 与 ⟨k2⟩/⟨k⟩\langle k^2\rangle/\langle k\rangle 中较大者：当最大度足够大时，Λmax\Lambda_{\max} 由单个枢纽的“星形”结构决定，对应的特征向量局域化在枢纽周围。这时 QMF 预测的是“枢纽周围的局部活跃”，未必是全网流行，HMF 与 QMF 的分歧由此而来（Castellano 与 Pastor-Satorras 2010）。

度相关。HMF 假设邻居的度与自身的度无关。若存在度相关，条件概率 P(k′|k)P(k'|k)（度为 kk 的节点的邻居度为 k′k' 的概率）取代 k′P(k′)/⟨k⟩k'P(k')/\langle k\rangle，SIS 阈值变为矩阵 Ckk′=kP(k′|k)C_{kk'}=kP(k'|k) 最大特征值的倒数（SIR 中用 (k′−1)P(k′|k)(k'-1)P(k'|k) 一类的剩余度形式）。同配网络（高度节点彼此相连）中枢纽形成一个相互支撑的“核心”，通常更容易维持流行；异配网络则相反。详细讨论见 Pastor-Satorras 等（2015）综述第 4 节；度相关的度量见度相关性与网络结构的高阶统计。

“阈值为 0”是 N→∞N\to\infty 的渐近结论。有限网络的 ⟨k2⟩\langle k^2\rangle 有限，阈值是小而非零；而且度相关性、聚集、社团结构都会改变实际阈值。HMF（⟨k⟩/⟨k2⟩\langle k\rangle/\langle k^2\rangle）、QMF（1/Λmax1/\Lambda_{\max}）与消息传递（1/ρ(B)1/\rho(B)）在同一张网络上可以给出明显不同的数值，代码示例“三种阈值近似的比较”演示了这一点（代码）；综述见 Pastor-Satorras 等（2015，Rev Mod Phys）。

性接触网络的度分布具有重尾特征（Liljeros 等，2001，Nature，基于瑞典的性行为调查），这为“少数高接触人群对性传播疾病流行贡献大”提供了网络解释，也解释了为什么针对高风险人群的干预效率高。

阈值公式的完整推导（HMF 自洽方程、自然截断下 λc\lambda_c 随 NN 的标度）见数学推导与算法。

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