均匀混合下的经典传播模型

先假设均匀混合（homogeneous mixing）：每个人单位时间与 $\langle k\rangle$ 个随机选出的人接触，每次“感染者–易感者”接触以速率 $\beta$ 传播。记 $s, i, r$ 为三类人群所占比例。

SI 模型（只感染不恢复）：

$$\frac{di}{dt}=\beta\langle k\rangle\, i\,(1-i)$$

解为 logistic 曲线 $i(t)=\dfrac{i_0e^{t/\tau}}{1-i_0+i_0e^{t/\tau}}$，特征时间 $\tau=1/(\beta\langle k\rangle)$。早期 $i$ 很小，$i(t)\approx i_0e^{t/\tau}$，呈指数增长；后期饱和到 1。早期行为最重要：疫苗和药物需要数月以上研发，早期隔离和接种是控制疫情的主要手段。

SIS 模型（如普通感冒，痊愈后可再感染），恢复率 $\mu$：

$$\frac{di}{dt}=\beta\langle k\rangle\, i\,(1-i)-\mu i$$

稳态 $i_\infty=1-\dfrac{\mu}{\beta\langle k\rangle}$。只有当 $\beta\langle k\rangle>\mu$ 时 $i_\infty>0$，否则疾病消亡。

SIR 模型（如流感、麻疹，痊愈后获得免疫）：

$$\frac{ds}{dt}=-\beta\langle k\rangle si,\qquad \frac{di}{dt}=\beta\langle k\rangle si-\mu i,\qquad \frac{dr}{dt}=\mu i$$

感染比例先升后降，最终 $r_\infty$ 饱和。这一框架可追溯到 Kermack 与 McKendrick（1927）。

SEIR 模型在 S 与 I 之间加入潜伏态 E（已感染、尚无传染性），潜伏期结束速率 $\sigma$：$\dot s=-\beta\langle k\rangle si$，$\dot e=\beta\langle k\rangle si-\sigma e$，$\dot i=\sigma e-\mu i$。潜伏期不改变 $R_0$，但拉长每一“代”的时间，使早期增长变慢；COVID-19 等疾病的建模通常用 SEIR 或其扩展（例如区分症状前、无症状感染）。

直观例子：若 $R_0=2$，初始 1 人，理想情况下每“代”感染人数为 1、2、4、8……；若 $R_0=0.8$，则 1、0.8、0.64……，期望的总感染人数为 $1/(1-0.8)=5$，疫情自行熄灭。

最终规模方程。SIR 中把 $ds/dt$ 除以 $dr/dt$ 得 $ds/dr=-R_0 s$，故 $s=s_0e^{-R_0r}$。疫情结束时 $i=0$，$s_\infty=1-r_\infty$，于是（$s_0\approx1$）

$$r_\infty=1-e^{-R_0r_\infty}.$$

算例：$R_0=2$ 时迭代 $r\leftarrow1-e^{-2r}$ 得 $r_\infty\approx0.797$，即约 80% 的人最终被感染——高于“群体免疫阈值” $1-1/R_0=50\%$，多出的部分是疫情越过峰值后的“惯性”感染（overshoot）。网络上的对应结果见数学推导与算法 B 节。