网络传播过程 · 生物医学网络科学

“流行病”（epidemic）一词源自希腊语 epi（在……之上）与 demos（人群）。传播现象远不止传染病：

现象	网络	传播的“东西”
性传播疾病	性接触网络	病原体
呼吸道传染病	近距离接触网络、交通网络	病原体
院内感染	医护–患者接触网络、医院间转诊网络	耐药菌等病原体
谣言与健康信息	通信网络、社交媒体	信息
创新与行为扩散	社会网络、医生咨询网络	观念、行为、处方习惯
疟疾	蚊媒–人二分网络	疟原虫
神经退行性病变	脑结构连接网络	错误折叠蛋白（假说）

14 世纪的黑死病从法国传到瑞典用了约 4 年，速度受限于人步行和航运；2003 年 SARS 借助航空网络在数周内到达多个大洲。Hufnagel、Brockmann 和 Geisel（2004，PNAS）用全球航空网络模拟 SARS 的扩散，说明传播的空间格局主要由交通网络的拓扑决定，而不是由地理距离决定（见集合种群与全球传播）。

网络传播过程：每个节点处于有限个状态之一（如易感 S、潜伏 E、感染 I、移除 R），状态转移只能沿边发生（感染）或自发发生（潜伏结束、恢复）。网络决定“谁能感染谁”，动力学参数决定“感染得多快、持续多久”。

一个核心结论贯穿本专题：传播只能沿连接发生，所以网络结构本身就是传播的“燃料管道”。 规模小、彼此隔绝的狩猎采集群体难以长期维持麻疹这类“人群病”（crowd diseases），而人口稠密、相互连通的城市可以。

微观模型：精确描述及其代价

最精确的描述是个体层面的随机过程（Barabási 第 10 章 Advanced Topics 10.A 称为微观模型）。以 SIS 为例，记 $x_i(t)\in\{0,1\}$ 表示节点 $i$ 是否感染， $A_{ij}$ 为邻接矩阵，则在一个很短的时间 $dt$ 内：

感染者 $i$ 以概率 $\mu\,dt$ 恢复；
易感者 $i$ 以概率 $\beta\,dt\sum_j A_{ij}x_j$ 被感染。

这是一个有 $2^N$ 个状态的连续时间马尔可夫链。它在有限网络上一定最终到达全体易感的吸收态（SIS 的“流行”只是一个寿命随 $N$ 指数增长的亚稳态），而且主方程维数随 $N$ 指数增长，无法直接求解。于是理论研究发展出一系列近似，从粗到细大致是：

近似层次	跟踪的变量	保留的结构信息	典型阈值	进一步阅读
均匀混合	$s,i,r$	只有平均度	$\lambda_c=1/\langle k\rangle$	经典模型
异质平均场（HMF）	每个度类的 $i_k$	度分布	$\langle k\rangle/\langle k^2\rangle$	流行病阈值
个体平均场（QMF/NIMFA）	每个节点的 $\rho_i$	完整邻接矩阵	$1/\Lambda_{\max}(A)$	消息传递
配对近似 / 边基模型	成对状态 $[SI]$ 、边变量 $\theta$	度分布、聚集（部分）	依闭合方式而定	消息传递
消息传递（SIR）	每条有向边的消息	完整拓扑（树状近似下精确）	$1/\rho(B)$	消息传递
随机模拟	每个节点的状态轨迹	一切	数值估计	数学推导与算法 C 节

越往下越精确，代价是需要的数据和计算更多。应用中常见的做法是：先用 HMF 得到量级与直觉，再用消息传递或随机模拟在真实网络上校准。

微观模型：精确描述及其代价

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