信息与行为的传播

信息和行为的传播与病原体有一个关键区别：是否需要多次暴露。

独立级联模型（independent cascade, IC）：节点被激活后，有一次机会以概率 $p_{uv}$ 激活每个未激活的邻居。它是“简单传染”（simple contagion），本质上与离散时间 SIR（感染一步即移除）相同。Kempe、Kleinberg 和 Tardos（2003，KDD）把“选 $k$ 个种子使期望传播范围最大”表述为影响力最大化问题，证明它是 NP 难的，但期望传播范围是子模函数，贪心算法至少能达到最优值的 $1-1/e\approx63\%$（详见影响力最大化与关键传播者）。

线性阈值模型（Granovetter 1978 的阈值思想）：节点 $v$ 有阈值 $\theta_v$，当已激活邻居的比例（或加权和）超过 $\theta_v$ 时才被激活。它刻画“复杂传染”（complex contagion）：采纳一种行为需要多个来源的社会强化。Watts（2002，PNAS）证明阈值模型上的全局级联只在中等平均度的窗口内出现：网络太稀疏则连不起来，太稠密则每个邻居的影响被稀释（级联条件的推导见数学推导与算法 G 节）。

一个可手算的例子。设阈值 $\theta=1/4$，网络是每个节点连接左右各 3 个最近邻的环（度为 6）。若连续 6 个节点被设为种子，紧挨种子块的节点有 3 个邻居在种子块中，$3/6\ge1/4$，被激活；激活像拉链一样沿环推进，最终覆盖全环。若把所有边随机重连（度仍约为 6），种子块外的节点通常只有 0–1 个种子邻居，$1/6<1/4$，级联在种子附近停住。代码示例“复杂传染”得到：在不重连与少量重连（5%）的格子上阈值模型覆盖全网，完全随机重连后只覆盖约 2%；而同样网络上的独立级联（$p=0.3$）恰好相反，在随机网络上覆盖约 74%，在格子上只有约 2%（代码）。

高阶相互作用。成对的边无法表达“三个朋友同时劝你”这种群体强化。Iacopini 等（2019，Nature Communications）把社会系统表示为单纯复形，允许传染通过不同规模的群体（三角形等）发生，发现高阶相互作用会导致不连续的（爆发式）转变，并出现健康态与流行态共存的双稳区——这为“社会变革需要临界数量”提供了一种机制解释。

疾病与行为的耦合。行为本身也在传播，并反过来改变疾病传播。Funk 等（2009，PNAS）建模了“对疾病的知晓”沿社交网络传播并降低易感性，发现知晓的扩散可以减小疫情规模，在一定条件下还能阻止大暴发。