配对近似、边基模型与消息传递

HMF 有两个关键缺陷：（1）它把同一度类的节点看成可互换的，丢掉了具体拓扑；（2）它忽略了相邻节点状态之间的动态相关——例如在 SIR 中，感染我的那个邻居不可能再被我感染，HMF 只能用剩余度中的“−1”粗略修正。这一页介绍三类更精确的方法，它们是 Kiss、Miller 与 Simon（2017）《Mathematics of Epidemics on Networks》的主体内容。

配对近似

思路：除了单个节点的计数 $[S],[I]$，还跟踪成对计数 $[SI]$（S–I 边的数目）、$[SS]$ 等。以 SIR 为例，设每条 S–I 边上的传播速率为 $\tau$，恢复率为 $\gamma$：

$$\frac{d[S]}{dt}=-\tau[SI],\qquad \frac{d[I]}{dt}=\tau[SI]-\gamma[I],$$

$$\frac{d[SI]}{dt}=\tau\big([SSI]-[ISI]-[SI]\big)-\gamma[SI],\qquad \frac{d[SS]}{dt}=-2\tau[SSI].$$

这里 $[SSI]$ 是三元组（S–S–I 的路径）计数：中间的 S 被右边的 I 感染后，左边的 S–S 边变成 S–I 边；$[ISI]$ 是中间的 S 被另一侧 I 感染时，这条 S–I 边变成 I–I 边。方程不封闭（成对的方程需要三元组），必须矩封闭（moment closure）。在每个节点度都为 $n$ 的网络上，最常用的闭合是

$$[ABC]\approx\frac{n-1}{n}\,\frac{[AB][BC]}{[B]} .$$

含义：已知中间节点是 $B$，它两侧邻居的状态近似独立；因子 $(n-1)/n$ 修正“同一个节点的 $n$ 条边中已经用掉了一条”。Keeling（1999，Proc R Soc B）在闭合中再加入聚集系数 $\phi$ 的修正项，使三角形内的重复接触被计入，得到“聚集降低增长率”的定量结果。配对近似简单、可推广到聚集网络，但闭合是启发式的，对重尾度分布不够准确。

边基仓室模型（EBCM）

Volz（2008，J Math Biol）以及 Miller、Slim 与 Volz（2012，J R Soc Interface）提出了对配置模型上 SIR 精确（在 $N\to\infty$ 极限下）而且只有一个方程的描述。关键变量是

$$\theta(t)=\text{一条随机选出的边，到时刻 } t \text{ 为止还没有把感染从邻居传到“我”这里的概率}.$$

一个度为 $k$ 的节点在时刻 $t$ 仍易感，当且仅当它的 $k$ 条边都还没传来感染，概率为 $\theta^k$；对度分布平均，$S(t)=\psi(\theta)$，$\psi(x)=\sum_kP(k)x^k$ 是度分布的生成函数。$\theta$ 满足

$$\frac{d\theta}{dt}=-\beta\theta+\beta\frac{\psi'(\theta)}{\psi'(1)}+\gamma(1-\theta),\qquad \frac{dR}{dt}=\gamma I,\qquad I=1-S-R .$$

推导要点：$1-\theta$ 可分解为“邻居尚未感染”“邻居已感染但还没传过来”“已经传过来”“邻居已恢复而没传过来”几部分，其中“邻居尚未感染”的概率是邻居的其余 $k'-1$ 条边都没传来感染，即 $\psi'(\theta)/\psi'(1)$。代码示例“边基仓室模型与精确随机模拟的比较”显示，在 5000 个节点的配置模型上，EBCM 的感染曲线与事件驱动随机模拟的平均曲线几乎重合，而同参数的均匀混合 ODE 把最终规模从约 0.61 高估到 0.93（代码）。

消息传递

消息传递（message passing，也称置信传播或腔方法）为每条有向边定义一个消息。对 SIR 的最终规模（Karrer 与 Newman 2010，PRE；更早的配置模型版本见 Newman 2002），记 $u_{i\leftarrow j}$ 为“去掉节点 $i$ 后，$j$ 不被大暴发感染”的概率，则

$$u_{i\leftarrow j}=1-T+T\prod_{l\in\partial j\setminus i}u_{j\leftarrow l},\qquad P(i\ \text{被感染})=1-\prod_{j\in\partial i}u_{i\leftarrow j}.$$

第一式的含义：边 $j\to i$ 要么不通（概率 $1-T$），要么通了但 $j$ 本身没有从除 $i$ 以外的邻居处被感染。“除 $i$ 以外”正是消除回声（echo chamber）的关键：在 HMF 和 QMF 中，$i$ 感染 $j$、$j$ 再“把感染算回给” $i$ 的虚假反馈被错误地计入了。

在 $u\equiv1$（无病态）附近线性化，得到 $\delta=T B\,\delta$，其中 $B$ 是非回溯矩阵（non-backtracking 或 Hashimoto 矩阵）：

$$B_{(k\to l),(i\to j)}=\delta_{jk}\,(1-\delta_{il}),$$

即从有向边 $i\to j$ 只能走到 $j\to l$ 且 $l\neq i$。于是 SIR 阈值为 $T_c=1/\rho(B)$。

• 在局部树状的网络上，消息传递对最终规模与阈值是精确的；有短环（三角形）时是近似，但通常仍优于 HMF 与 QMF。
• 对配置模型，$\rho(B)\approx(\langle k^2\rangle-\langle k\rangle)/\langle k\rangle$，回到 HMF 的 SIR 阈值。
• $B$ 有 $2m$ 行，直接构造代价高；Ihara–Bass 恒等式表明 $\rho(B)$ 等于 $2N\times2N$ 矩阵 $\begin{pmatrix}A & I-D\\ I & 0\end{pmatrix}$ 的最大特征值（$D$ 为度对角阵），代码示例正是这样计算的。
• 非回溯矩阵的特征向量不像 $A$ 那样在枢纽周围局域化，因此也被用于社团发现与关键节点识别（影响力最大化与关键传播者中的集体影响）。

动态消息传递进一步给出每个节点随时间的感染概率（Lokhov 等 2014 把它用于传播溯源）。对一般的二元状态动力学（包括阈值模型），Gleeson（2011，PRL）的近似主方程（AME）按“度 $k$、已感染邻居数 $m$”跟踪节点比例，精度很高，代价是变量数约为 $k_{\max}^2/2$。