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网络上的传播与免疫08 / 17

再生数与超级传播

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R0R_0 是传播理论的中心量，但它既不能直接观测，在网络上还有多种含义。本页讨论如何定义、估计并解释再生数，以及个体传播能力的异质性（超级传播）。

下一代矩阵

人群分为 nn 类（年龄组、度类、地区）时，定义下一代矩阵 KK：KijK_{ij} 是一个 jj 类感染者在完全易感人群中平均直接感染的 ii 类人数。每一代感染者的类别构成按 x(g+1)=Kx(g)x^{(g+1)}=Kx^{(g)} 演化，所以

R0=ρ(K)(谱半径，即最大特征值的模),R_0=\rho(K)\quad(\text{谱半径，即最大特征值的模}),

这一定义来自 Diekmann、Heesterbeek 与 Metz（1990，J Math Biol）。

网络上的下一代矩阵。按度分类，一个度为 k′k' 的感染者（它是被某个邻居感染的，所以还剩 k′−1k'-1 条可用的边）平均感染 T(k′−1)T(k'-1) 个邻居，这些邻居的度为 kk 的概率是 kP(k)/⟨k⟩kP(k)/\langle k\rangle。于是 Kkk′=TkP(k)⟨k⟩(k′−1)K_{kk'}=T\,\dfrac{kP(k)}{\langle k\rangle}(k'-1)，这是秩为 1 的矩阵，其谱半径为

R0=T∑kkP(k)⟨k⟩(k−1)=T⟨k2⟩−⟨k⟩⟨k⟩,R_0=T\sum_k\frac{kP(k)}{\langle k\rangle}(k-1)=T\,\frac{\langle k^2\rangle-\langle k\rangle}{\langle k\rangle},

正是度异质性与流行病阈值中的网络再生数。

网络上的“第一代”与“稳定代”不同。一个随机选出的首发病例平均感染 T⟨k⟩T\langle k\rangle 人；但第二代及以后的感染者是“沿边走到的人”，平均感染 T(⟨k2⟩−⟨k⟩)/⟨k⟩T(\langle k^2\rangle-\langle k\rangle)/\langle k\rangle 人。在度异质网络中，后者可以远大于前者。用“首发病例的平均继发病例数”估计 R0R_0 会低估流行潜力；在暴发早期，被感染者的度分布也会偏向高度，随后逐渐“回归”，所以早期估计的增长率可能高于之后。

从增长率到再生数

暴发早期病例数近似指数增长 I(t)∝ertI(t)\propto e^{rt}，增长率 rr 可以从发病曲线拟合。把 rr 换算为 RR 需要代际间隔（generation interval）分布 g(τ)g(\tau)：一个感染者从被感染到感染他人的时间间隔。Wallinga 与 Lipsitch（2007，Proc R Soc B）给出关系

R=1M(−r),M(−r)=∫0∞e−rτg(τ)dτ.R=\frac{1}{M(-r)},\qquad M(-r)=\int_0^\infty e^{-r\tau}g(\tau)\,d\tau .

算例：若代际间隔服从均值为 TgT_g 的指数分布，M(−r)=1/(1+rTg)M(-r)=1/(1+rT_g)，于是 R=1+rTgR=1+rT_g。若 r=0.2/天r=0.2/\text{天}、Tg=5T_g=5 天，R=2R=2；若代际间隔固定为 5 天（零方差），R=erTg=e1≈2.72R=e^{rT_g}=e^{1}\approx2.72。同一条增长曲线，代际间隔分布的形状不同，推出的 RR 相差可达 35%。SIR 模型的代际间隔是指数分布（均值 1/μ1/\mu），故 R0=1+r/μR_0=1+r/\mu；SEIR 模型为 R0=(1+r/σ)(1+r/μ)R_0=(1+r/\sigma)(1+r/\mu)。

时变再生数 RtR_t

干预与人群免疫会使再生数随时间变化。有效再生数 RtR_t 指在时刻 tt 的条件下一个感染者平均造成的继发病例数。两种常用估计：

  • 病例再生数（Wallinga 与 Teunis 2004，Am J Epidemiol）：根据发病时间和序列间隔分布，计算每个病例 jj 被另一个病例 ii 感染的相对似然 pijp_{ij}，病例 ii 的再生数为 ∑jpij\sum_jp_{ij}，再按发病日期平均。它回答“在 tt 日发病的人后来平均感染了多少人”。他们用这一方法比较 2003 年香港、越南、新加坡与加拿大的 SARS 疫情，发现各地的传播潜力与控制措施效果相近，并估计控制措施推迟一周会使疫情规模增加到将近三倍。
  • 瞬时再生数（Cori 等 2013，Am J Epidemiol；软件 EpiEstim）：基于更新方程 E[It]=Rt∑s≥1wsIt−sE[I_t]=R_t\sum_{s\ge1}w_sI_{t-s}，wsw_s 为代际（序列）间隔分布。在长度为 τ\tau 的窗口内假设 RtR_t 不变，并给 RtR_t 一个 Gamma 先验，则后验仍是 Gamma 分布，形状参数为 a+∑Isa+\sum I_s，速率参数为 1/b+∑Λs1/b+\sum\Lambda_s，其中 Λs=∑uwuIs−u\Lambda_s=\sum_uw_uI_{s-u} 是“总感染力”。

代码示例“从发病曲线估计时变再生数”中，真实 RtR_t 在第 40 天从 2.0 降到 0.7，估计值在约一个窗口长度（7 天）的滞后后跟上了下降（代码）。

RtR_t 估计对代际间隔分布、报告延迟和检测强度的变化都很敏感：检测量突然增加会被误读为 RtR_t 上升。在网络上，RtR_t 的下降不仅来自易感者减少，还来自高度节点先被感染——网络中有效易感者的消耗比均匀混合假设的 Rt=R0s(t)R_t=R_0s(t) 更快，因此群体免疫阈值也可能低于 1−1/R01-1/R_0。

个体异质性与超级传播

R0R_0 是平均数，掩盖了个体差异。Lloyd-Smith 等（2005，Nature）分析 8 种直接传播疾病的接触追踪数据，发现个体再生数 ν\nu 的分布通常高度偏斜。他们把继发病例数建模为负二项分布（相当于 ν\nu 服从均值 R0R_0、形状参数 kk 的 Gamma 分布，再叠加泊松抽样），离散参数 kk 越小，个体差异越大：k→∞k\to\infty 时为泊松（无个体差异），k=1k=1 时为几何分布。

负二项后代分布的概率生成函数为 g(s)=[1+R0k(1−s)]−kg(s)=\big[1+\tfrac{R_0}{k}(1-s)\big]^{-k}。由分支过程理论，从一个首发病例开始、疫情最终自行灭绝的概率 qq 是方程 q=g(q)q=g(q) 在 [0,1][0,1] 中的最小根。算例（R0=2.5R_0=2.5，代码示例“超级传播”）：

离散参数 kk 灭绝概率 qq 零继发病例的比例 造成 80% 传播的感染者比例
0.1 0.86 0.72 约 9%
0.5 0.56 0.41 约 28%
1.0 0.40 0.29 约 36%
10 0.14 0.11 约 54%

R0R_0 相同时，kk 越小，疫情越容易在早期自行熄灭，但一旦暴发就更“爆炸”。Lloyd-Smith 等据此指出，针对个体的控制措施优于全人群均匀的措施，而识别高传播性个体的预测因素至关重要。

COVID-19 的超级传播。Adam 等（2020，Nature Medicine）利用香港 2020 年 1 月 23 日至 4 月 28 日确诊的 1038 例 SARS-CoV-2 感染的接触追踪数据，识别出全部本地聚集性疫情，在 51 个聚集（309 例）中识别出 4–7 次超级传播事件，估计 19%（95% CI 15–24%）的病例造成了 80% 的本地传播。控制年龄后，社交场所的传播比家庭内产生更多继发病例；作为接触者被隔离的个体中断传播的比值比为 14.4（95% CI 1.9–107.2）。这些结果支持把资源集中在快速追踪与隔离接触者，以及限制社交聚集场所。

超级传播有三类不同来源，干预含义也不同：网络位置（接触多的人，见免疫策略）、生物学（排毒量高、症状轻而继续活动）、情境（通风差的室内聚集，对应 Chang 等 2021 的“超级传播地点”）。网络模型通常只描述第一类，单凭度分布不能解释全部超级传播。

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