接触追踪与监测

疫苗出现之前，控制新发传染病主要依靠发现—隔离—追踪：发现病例并隔离，追踪其接触者并检疫。从网络角度，接触追踪就是沿着传播树的边去寻找尚未被发现的感染者。

什么决定追踪能否成功

Fraser、Riley、Anderson 与 Ferguson（2004，PNAS）指出，隔离有症状者和追踪检疫接触者这两项措施能否控制疫情，不仅取决于 $R_0$，同样取决于症状出现前（或无症状）传播的比例 $\theta$：只有在出现症状之后才发生的传播才能被隔离阻断。他们根据已发表的参数估计，SARS 与天花（症状前传播少）比 HIV 与大流行性流感更容易用这些简单措施控制，并强调在新发传染病暴发中应优先通过接触追踪直接估计无症状与症状前感染的比例。

在网络框架中，Eames 与 Keeling（2003，Proc R Soc B）分析了接触追踪在网络传播中的控制效果，说明追踪的价值取决于接触网络的局部结构与追踪的及时性。对 COVID-19，Ferretti 等（2020，Science）估计了不同传播途径（症状前、有症状、无症状、环境）的贡献，结论是 SARS-CoV-2 传播太快，人工追踪难以控制，但若追踪更快、更高效、规模更大——例如一个记住近距离接触并在病例确诊后立即通知接触者的手机应用，在足够多的人使用时可以控制疫情，而无需全面封锁。Kucharski 等（2020，Lancet Infect Dis）比较了隔离、检测、追踪与保持社交距离在不同场所组合下降低传播的效果。

向后追踪与朋友悖论

追踪有两个方向：向前追踪找“病例传给了谁”，向后追踪找“病例是从谁那里感染的”。Kojaku 等（2021，Nature Physics）证明，在接触异质的网络中向后追踪远比向前追踪有效。原因是传播树上的“朋友悖论”：

• 记个体的继发病例数为 $Z$，一个随机病例的继发病例数平均为 $E[Z]=R$；
• 但一个随机病例的传染源是按其继发病例数加权抽到的（传了 $Z$ 个人的感染者有 $Z$ 次机会成为别人的传染源），其继发病例数的期望是 $E[Z^2]/E[Z]=R+\mathrm{Var}(Z)/R$——被感染者更可能来自“多产”的感染者。

算例：若 $Z$ 服从负二项分布，$\mathrm{Var}(Z)=R+R^2/k$。取 $R=1.5$、$k=0.2$，则随机病例的传染源平均有 $1.5+1+1.5/0.2=10$ 个继发病例。向后追踪一次，就可能找到一个超级传播者及其牵出的整个聚集。代码示例“向前追踪与向后追踪”在 BA 网络的 SIR 传播树上得到：随机病例平均只传给约 1 人（每个病例除种子外恰有一个传染源，所以整个暴发的平均值必然接近 1），而它们的传染源平均传给了约 8.7 人（代码）。

社交网络传感器：利用朋友悖论提前预警

既然传播先到达枢纽（度异质性与流行病阈值中的层级传播），监测枢纽就能提前发现疫情。全网度未知时，可以再用一次朋友悖论：监测“随机个体所提名的朋友”。

院内传播中的追踪与预防

医院是追踪与预防同时进行的典型场景。Lloyd-Smith、Galvani 与 Getz（2003，Proc R Soc B）建立了一个社区与其医院的 SARS 随机模型（重点分析香港和新加坡报告的 $R_0\approx3$ 的情形），发现医院内的接触防护是最有力的措施；当 $R_0=3$ 时，仅靠病例隔离要控制疫情，需要隔离把传播降低至少到四分之一、且从发病到隔离的平均时间少于 3 天；追踪与发现病例拖延几天，就会严重削弱检疫与隔离的作用。