时间网络与阵发性

前面的理论都假设接触网络是静态的。Barabási 第 10.5 节“超越度分布”指出，真实接触还有三类结构会实质性地改变传播：时间顺序与阵发性、度相关、边权与社团。本页讨论时间与社团，度相关见度异质性与流行病阈值。

时间相容路径

时间网络（temporal network）把接触记为带时间戳的事件 $(i,j,t)$ 或区间 $(i,j,t,\Delta t)$（Holme 与 Saramäki 2012，Phys Rep 综述）。传播只能沿时间相容路径（time-respecting path）进行：路径上的接触时间必须单调不减。

算例：A–B 在第 1 天接触，B–C 在第 3 天接触。若 A 第 0 天感染，它可以经 B 传到 C；若接触顺序颠倒（B–C 第 1 天，A–B 第 3 天），C 永远不会被 A 传染。累积成静态图后两种情形都是路径 A–B–C，无法区分。因此：

• 时间网络上的“可达”关系不对称、不传递：A 能到 B、B 能到 C，并不意味着 A 能到 C；
• 累积静态网络通常高估传播范围与速度。

阵发性与事件间隔

人类活动是阵发的（bursty）：两次接触之间的间隔 $\Delta t$ 服从重尾分布，短时间内连续多次接触之后是很长的静默期。常用阵发性系数 $B=(\sigma_{\Delta t}-m_{\Delta t})/(\sigma_{\Delta t}+m_{\Delta t})$ 度量，$m,\sigma$ 是间隔的均值与标准差：泊松过程 $B=0$，周期过程 $B=-1$，高度阵发 $B\to1$。

阵发性对传播速度的影响由等待时间悖论主导：病原体到达一个节点的时刻相当于在时间轴上随机落点，落入长间隔的概率正比于间隔长度，因此平均剩余等待时间为 $\langle\Delta t^2\rangle/(2\langle\Delta t\rangle)$，而不是 $\langle\Delta t\rangle/2$。重尾间隔使 $\langle\Delta t^2\rangle$ 很大，传播被拖慢。

• Vazquez 等（2007，PRL）在电子邮件病毒传播等数据上发现，重尾的事件间隔使流行病的早期衰减远慢于泊松假设的预测；
• Karsai 等（2011，PRE）在手机通话网络上做“打乱时间戳”的对照实验，发现阵发性与社团–边权相关共同使 SI 传播显著变慢（“小而慢的世界”）。

活动驱动模型

Perra 等（2012，Sci Rep）提出活动驱动模型：每个节点 $i$ 有活动潜能 $a_i$，每个时间步以概率 $a_i$ 激活并与 $m$ 个随机节点建立只持续一步的接触。它在任何瞬间都是稀疏的，累积起来却会形成枢纽（高活动个体）。线性化平均场给出 SIS 阈值（推导见数学推导与算法 D 节）

$$\frac{\lambda}{\mu}>\frac{1}{m\big(\langle a\rangle+\sqrt{\langle a^2\rangle}\big)},$$

$\lambda$ 为每次 S–I 接触的传播概率。阈值由活动性的一阶与二阶矩决定，类似于静态网络中的 $\langle k\rangle$ 与 $\langle k^2\rangle$；而把接触累积成静态网络再套用静态公式，会因“同时存在的接触”被高估而得出错误的阈值与流行规模。对一般的离散时间网络序列 $A_1,\dots,A_T$，Valdano 等（2015，PRX）给出了基于“感染传播子” $\prod_t\big[(1-\mu)I+\lambda A_t\big]$ 谱半径的阈值计算方法。

边权与社团

• 弱关系。按 Granovetter 的弱关系理论（见社团结构与社区发现），社团内部的边强（接触频繁），连接社团的桥是弱的。对传染病而言，强边上的重复接触多“浪费”在已经感染的人身上，弱边虽然少却决定了能否跨社团传播。
• 社团减缓与截留传播。Salathé 与 Jones（2010，PLoS Comput Biol）在模拟中发现，社团结构越强，暴发越小、越慢；而且此时优先免疫连接不同社团的“桥接节点”比按度免疫更有效（见免疫策略）。
• 层级结构。家庭–学校–社区的多层嵌套使疾病先在家庭内饱和、再经学校或工作场所跳到其他家庭，这是“家庭模型”（household models）一类理论的出发点。