免疫策略

控制疫情的三类手段在网络上的含义不同：

• 降低传播率（口罩、手卫生、通风）：降低 $\beta$，即每条边的传播性 $T$；
• 减少接触（隔离、停课、限制聚集规模）：删边，网络变稀疏；
• 接种疫苗：删点，被接种者不再传播。

随机免疫：随机接种比例 $g$ 的人，等价于把传播强度变为 $\lambda(1-g)$。要阻断流行需 $\lambda(1-g)<\lambda_c$，即临界接种比例 $g_c=1-\lambda_c/\lambda$。均匀混合时 $\lambda_c/\lambda=1/R_0$，就是熟悉的群体免疫阈值 $g_c=1-1/R_0$（$R_0=3$ 时需 67%）。在无标度网络中 $\lambda_c\to0$，于是 $g_c\to1$：几乎要接种所有人。从渗流的角度看，随机免疫就是随机删点，而无标度网络对随机删点极其鲁棒（见网络鲁棒性、渗流与级联失效）。

目标免疫：优先接种度最高的节点。删除枢纽会迅速降低 $\langle k^2\rangle$，阈值显著升高（Pastor-Satorras 与 Vespignani 2002；Dezső 与 Barabási 2002，均发表于 PRE）。Barabási 10.C 节给出了这一效应的定量估计：对度指数为 $\gamma$ 的无标度网络，接种度最高的比例 $g$ 的节点后，剩余网络的最大度从 $\infty$ 降到 $k_c=k_{\min}g^{-1/(\gamma-1)}$，于是 $\langle k^2\rangle$ 变为有限值，阈值随 $g$ 以幂律上升；阻断流行所需的 $g_c$ 只是 $\lambda$ 的幂函数，远小于随机免疫的 $g_c\to1$（推导见数学推导与算法 F 节）。问题是现实中往往不知道谁是枢纽。

熟人免疫（acquaintance immunization，Cohen、Havlin 与 ben-Avraham，2003，PRL）：随机选一个人，再让他随机提名一个熟人，给这个熟人接种。由于沿边到达高度节点的概率正比于 $k$，这个只用局部信息的策略接近目标免疫的效果。

接种同样比例的人，不同策略下的最终感染规模可能相差数倍。本专题的代码示例在 BA 网络上比较这三种策略：各接种 10% 的节点后，计算剩余网络的阈值 $T_c$ 与巨连通分支比例。

利用社团与全局结构的策略

• 社团桥接免疫。在社团结构明显的网络中，度最高的节点往往位于社团内部，免疫它们并不能阻止疾病在社团之间跳跃。Salathé 与 Jones（2010）提出“社团桥接寻找”（community bridge finder）策略：用只依赖局部信息的随机游走识别连接不同社团的桥接节点并优先接种。在社团结构强的网络中，它优于按度或熟人免疫。
• 基于渗流的最优免疫。从渗流角度，最优免疫就是找到最小的节点集合，删除后网络的巨分支消失，这是“最优渗流”问题，NP 难。Morone 与 Makse（2015，Nature）用非回溯矩阵把它化为最小化一个能量函数，并提出集体影响（CI）启发式，见影响力最大化与关键传播者。
• 介数与桥。按介数免疫能切断连接不同区域的“桥”，在空间或社团网络中常优于按度免疫，但需要全局拓扑信息，计算代价也高。