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网络构建与统计验证06 / 16

零模型与空模型

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一个指标的数值本身很少有意义。“聚集系数 0.25”是高还是低，取决于与什么比较。零模型（null model）是一组保留了真实网络某些性质、其余部分随机化的参照网络，用来回答“观察到的结构能否被这些被保留的性质解释”。中文文献中也称空模型或参照模型。Váša 与 Mišić（2022, Nature Reviews Neuroscience）对网络神经科学中的零模型做了系统综述。

零模型的逻辑：设观测网络的指标为 XobsX_{\text{obs}}，零模型生成 MM 个随机网络，指标为 X1,…,XMX_1,\dots,X_M。若 XobsX_{\text{obs}} 落在零分布的极端位置，结论是：该结构超出了零模型所保留性质能解释的范围。零模型保留的性质越多，检验越严格，结论也越具体。

常见零模型

零模型 保留的性质 随机化的部分 典型用途
ER 随机图 G(N,M)G(N,M) 节点数、边数 边的位置 最粗的基线；小世界的 CrandC_{\text{rand}}、LrandL_{\text{rand}}
配置模型（configuration model） 度序列 在度约束下随机配对“半边” 模块度的期望项、度相关结构
保度随机化（边交换） 每个节点的度（可加连通性） 边的位置 基序、富人俱乐部、聚集系数
保度保强度的加权零模型 度和强度（近似） 权重的位置 加权网络、带符号的相关网络
空间约束零模型 度序列加连接长度分布，或节点的空间位置 不依赖距离的部分 脑网络、空间嵌入网络
相关矩阵零模型 相关矩阵元素的均值与方差 相关结构 功能连接网络的聚集系数基线
节点标签置换 / 空间自相关保持置换 网络本身不变 节点属性在节点间的分配 脑图与脑图、基因集与网络的对应关系

配置模型：给定度序列 {ki}\{k_i\}，把每个节点 ii 看作带 kik_i 个“半边”，随机两两配对。稀疏情形下 ii 与 jj 之间期望边数约为 kikj/2Mk_ik_j/2M，这正是模块度定义中的期望项。随机配对会产生自环和重边，删除它们又会改变度序列。Molloy 与 Reed（1995, Random Structures & Algorithms）给出了给定度序列随机图出现巨连通分支的条件；Fosdick 等（2018, SIAM Review）指出，“配置模型”实际上是一族模型，是否允许自环与重边、以“半边”还是以“图”为抽样单位，都会改变零分布，在度分布重尾时差别尤其明显。Squartini 与 Garlaschelli（2011, New Journal of Physics）给出了一种只在期望意义上保持度序列的最大熵版本，可以解析计算期望值。

保度随机化：Maslov 与 Sneppen（2002, Science）用反复交换边端点的方法生成保度随机网络，比较酵母蛋白质相互作用网络与转录调控网络中高度节点之间的连接，发现高度节点之间的直接连接少于随机预期。双边交换算法见 数学推导与算法。Milo 等（2002, Science）在网络基序研究中也用保度随机网络作为参照。

空间约束：脑区之间的连接概率随距离下降，猕猴示踪数据中这一关系可以用指数距离规则描述（Ercsey-Ravasz 等, 2013, Neuron）。Roberts 等（2016, NeuroImage）显示，仅由空间几何就能产生人脑连接组的许多拓扑特征。Vértes 等（2012, PNAS）用带距离惩罚的简单生成模型再现了功能网络的多项拓扑性质。因此对脑网络，“比保度随机网络更模块化”可能只是空间嵌入的结果；需要再与保持连接长度分布的零模型比较。

加权与相关网络：Rubinov 与 Sporns（2011, NeuroImage）给出了在带符号加权网络中近似保持度和强度分布的零模型。对相关网络，Zalesky 等（2012, NeuroImage）建议用与真实相关矩阵统计特征相匹配的随机相关矩阵作为参照，因为保度随机化仍会破坏相关矩阵固有的传递性，使 CrandC_{\text{rand}} 偏低、“小世界性”被高估。

节点属性置换：当问题是“两张脑图（例如基因表达图与皮层厚度变化图）是否空间对应”时，简单打乱脑区标签会忽略空间自相关，使假阳性率膨胀。旋转检验（spin test）在球面上旋转一张图以保持其空间自相关（Alexander-Bloch 等, 2018, NeuroImage）；BrainSMASH 生成具有相同空间自相关的替代图（Burt 等, 2020, NeuroImage）。

z 分数与经验 p 值

由 MM 个零模型网络得到均值 X‾\bar X 与标准差 ss，

z=Xobs−X‾s,p̂=1+#{Xm≥Xobs}M+1.z=\frac{X_{\text{obs}}-\bar X}{s},\qquad \hat p=\frac{1+\#\{X_m\ge X_{\text{obs}}\}}{M+1}.

zz 分数便于比较不同指标的偏离程度，但只有在零分布近似正态时才能换算成 pp 值；零分布偏斜或离散时应直接报告经验 pp 值。经验 pp 值分子分母加 1，是因为观测本身也是零假设下的一个可能结果，这保证了 p̂\hat p 永远不为 0，并且检验在有限次置换下仍然有效（Phipson & Smyth, 2010, Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology）。MM 决定了能达到的最小 pp 值 1/(M+1)1/(M+1)，需要多重比较校正时，MM 要相应加大。

代码示例中，一个模拟网络的负度同配相对 ER 零模型显著，相对保度零模型则不显著：负同配的大部分可由度序列本身解释，因为在简单图中高度节点之间可连接的边数有限。这说明零模型的选择决定了结论的含义。

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