连接强度的估计

相关与偏相关

对 $N$ 个变量各有 $T$ 个观测（时间点、被试或样本），最常用的边权是皮尔逊相关 $r_{ij}$。相关网络的问题是间接关联也会成边：若 $A\to B\to C$，$A$ 与 $C$ 之间没有直接作用，相关仍可能很高。

偏相关（partial correlation）在控制其余所有变量后度量两变量的关联。记协方差矩阵 $\Sigma$，精度矩阵 $\Theta=\Sigma^{-1}$，则

$$\rho_{ij\cdot\text{rest}}=-\frac{\Theta_{ij}}{\sqrt{\Theta_{ii}\Theta_{jj}}}.$$

在多元正态假设下，$\rho_{ij\cdot\text{rest}}=0$ 等价于给定其余变量时 $i$ 与 $j$ 条件独立，这样的网络称为高斯图模型（Gaussian graphical model, GGM）。偏相关能去掉链式结构中的间接边，但它也会在对撞结构 $A\to C\leftarrow B$ 中制造原本不存在的 $A$–$B$ 关联（代码示例最后一个单元演示了这两种情况）。偏相关因此更接近“直接关联”，但仍然不是因果。

高维情形：收缩与正则化

当 $T$ 与 $N$ 同量级，样本协方差矩阵 $S$ 接近奇异，直接求逆得到的偏相关噪声极大；$T<N$ 时 $S$ 根本不可逆。两类常用对策：

1. 收缩估计（shrinkage）：把 $S$ 向一个结构简单的目标矩阵（如对角阵）收缩，$\hat\Sigma=(1-\delta)S+\delta F$，收缩强度 $\delta$ 可解析地估计（Ledoit & Wolf, 2004, Journal of Multivariate Analysis）。Schäfer 与 Strimmer（2005, Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology）把这一思路用于基因表达数据的偏相关网络。
2. 稀疏正则化：图形 LASSO（graphical lasso; Friedman 等, 2008, Biostatistics）在高斯似然上对精度矩阵的非对角元素加 $\ell_1$ 惩罚，直接得到稀疏的 $\hat\Theta$；邻域选择法（Meinshausen & Bühlmann, 2006, Annals of Statistics）对每个变量做 LASSO 回归，再合并邻居集合。心理网络中最常用的 EBICglasso 流程用扩展 BIC 选择惩罚参数，详见 Epskamp 与 Fried（2018, Psychological Methods）的教程和 症状网络。

互信息与非线性依赖

互信息（mutual information, MI）$I(X;Y)=\iint p(x,y)\log\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\,dx\,dy$ 能捕捉非线性、非单调的依赖。对二元正态变量，$I=-\tfrac12\ln(1-\rho^2)$，与相关一一对应，此时 MI 不提供额外信息。MI 的估计比相关困难：分箱估计对箱宽敏感，k 近邻估计（Kraskov 等, 2004, Physical Review E）在连续数据中更常用。在基因网络中，ARACNe（Margolin 等, 2006, BMC Bioinformatics）先用 MI 构建网络，再用数据处理不等式删去三角形中最弱的一条边，以减少间接关联。

样本量与估计误差

边权估计的不确定性常被忽略。样本相关的标准误近似为 $(1-\rho^2)/\sqrt{T}$，依赖未知的真值；Fisher（1915, Biometrika）研究了样本相关系数的抽样分布，其后提出的 $z$ 变换

$$z=\operatorname{artanh}(r)=\tfrac12\ln\frac{1+r}{1-r},\qquad \operatorname{Var}(z)\approx\frac{1}{T-3}$$

使方差近似不依赖 $\rho$（推导见 数学推导与算法）。由此可以算出：要把 $r$ 的 95% 置信区间宽度缩小一半，需要的样本量大约是原来的 4 倍。代码示例中，$r=0.3$ 时 $n=30$ 的区间跨过 0，而 $n=1000$ 的区间宽度约为 0.1。

两个实际要点：

• 有效样本量：fMRI 的 BOLD 信号有很强的自相关，独立观测数远少于时间点数。直接用 $T$ 计算单被试层面的标准误会高估精度。被试水平的组分析（每名被试一个 $z$ 值，误差来自被试间变异）对此更稳健。
• 组分析的单位：比较两组时，应把每名被试的 Fisher $z$ 作为观测，而不是先平均相关矩阵再比较。