数学推导与算法

A. Fisher z 变换与样本量

设 $(x,y)$ 二元正态，$n$ 个独立样本，样本相关 $r$ 的渐近方差为 $\operatorname{Var}(r)\approx(1-\rho^2)^2/n$。寻找变换 $g$ 使方差不依赖 $\rho$：由 delta 方法 $\operatorname{Var}(g(r))\approx g'(\rho)^2(1-\rho^2)^2/n$，令 $g'(\rho)=1/(1-\rho^2)$，积分得 $g(\rho)=\operatorname{artanh}\rho$，方差约为 $1/n$，小样本修正为 $1/(n-3)$。

置信区间：$\operatorname{artanh}r\pm z_{1-\alpha/2}/\sqrt{n-3}$，再用 $\tanh$ 变回相关尺度。区间在 $z$ 尺度上的宽度为 $2z_{1-\alpha/2}/\sqrt{n-3}$，因此宽度减半需要 $n-3$ 增加到 4 倍。

两个独立相关的比较：$Z=(z_1-z_2)/\sqrt{1/(n_1-3)+1/(n_2-3)}$，与标准正态比较。

自相关时间序列：若两序列各自有自相关 $\rho_x(k)$、$\rho_y(k)$，在真实相关为 0 时，$r$ 的方差近似为 $\frac1n\big[1+2\sum_{k\ge1}\rho_x(k)\rho_y(k)\big]$，相当于有效样本量 $n_{\text{eff}}=n/\big[1+2\sum_k\rho_x(k)\rho_y(k)\big]$。对强自相关的 BOLD 信号，$n_{\text{eff}}$ 可远小于时间点数。

B. 置换检验的有效性与 z 分数

可交换性论证：若零假设成立且观测在置换下可交换，则观测统计量 $X_0$ 与 $M$ 个置换统计量 $X_1,\dots,X_M$ 构成可交换序列，$X_0$ 在这 $M+1$ 个值中的秩在 $\{1,\dots,M+1\}$ 上均匀分布（忽略并列）。于是

$$\Pr\!\Big(\hat p\le\alpha\Big)\le\alpha,\qquad \hat p=\frac{1+\#\{m:X_m\ge X_0\}}{M+1},$$

即这个 $\hat p$ 在有限 $M$ 下也是精确有效的。若写成 $\#\{X_m\ge X_0\}/M$，$\hat p$ 可以为 0，检验会偏松。

蒙特卡罗误差：$\hat p$ 的标准误约为 $\sqrt{p(1-p)/M}$。$p=0.05$、$M=1000$ 时约为 0.007；若需要在多重比较后判断 $p$ 是否小于 $0.05/100$，$M$ 至少要达到数万。

z 分数的局限：$z=(X_0-\bar X)/s$ 只是标准化距离。零分布偏斜（例如稀疏网络的聚集系数）时，相同的 $z$ 对应的尾部概率可能相差很大；$s$ 很小时（零模型约束很强），微小的绝对差异也会给出很大的 $z$。报告时应同时给出 $X_0$、$\bar X$、$s$ 与经验 $p$ 值。

最大统计量控制 FWE：在每次置换中取所有检验统计量的最大值 $\max_j T_j^{(m)}$，以其 $1-\alpha$ 分位数 $c$ 作为共同阈值。零假设全真时，$\Pr(\exists j:T_j>c)=\Pr(\max_jT_j>c)\le\alpha$。NBS 用“最大分量大小”代替“最大统计量”，逻辑相同。

C. BH 程序为什么控制 FDR

设 $m$ 个检验中 $m_0$ 个为真零假设，其 $p$ 值独立且服从 $U(0,1)$，并与假零假设的 $p$ 值独立。BH 拒绝集合为 $\{(1),\dots,(k)\}$，$k=\max\{i:p_{(i)}\le iq/m\}$。对每个真零假设 $j$，利用独立性可证明 $\mathbb E\big[\mathbf 1\{j\text{ 被拒绝}\}/\max(R,1)\big]=q/m$，其中 $R$ 为拒绝总数，对 $m_0$ 个真零假设求和得

$$\mathrm{FDR}=\mathbb E\!\left[\frac{V}{\max(R,1)}\right]=\frac{m_0}{m}\,q\le q .$$

网络中的边检验通常相关（共享节点的边相关更强），BH 在正相关依赖下仍然成立；依赖结构未知时可用 Benjamini–Yekutieli 版本，把 $q$ 替换为 $q/\sum_{i=1}^m i^{-1}$。

D. 保度随机化：双边交换算法

算法 1  双边交换（无向、无权、简单图）
输入：边列表 E（m 条边），每边平均交换次数 Q
输出：每个节点度与原图相同的随机图
1. 用哈希集合 H 存储 E，以 O(1) 判断边是否存在
2. 重复 Q·m 次：
3.     均匀随机抽两条不同的边 (a,b)、(c,d)
4.     以 1/2 概率把第二条边写作 (d,c)
5.     若 a,b,c,d 有重复节点，或 (a,d)、(c,b) 已在 H 中：拒绝本次交换，当前图保持不变
6.     否则删去 (a,b)、(c,d)，加入 (a,d)、(c,b)，同步更新 H
7. 返回 E

度保持：交换前后 $a,b,c,d$ 各失去一条边、得到一条边，所有节点的度不变。

作为马尔可夫链：每一步要么得到一个新图，要么留在原图。对给定度序列的全部简单图，这样的交换可以连通所有状态，因此链是不可约的；交换是对称的（从 $G$ 到 $G'$ 与从 $G'$ 到 $G$ 的提议概率相同），被拒绝的提议计为“停留”，于是均匀分布是平稳分布。实践中常见的错误是“拒绝后重新抽样直到成功”，这会改变平稳分布；有关不同实现与抽样空间的讨论见 Fosdick 等（2018）。

混合与复杂度：时间复杂度为 $O(Qm)$。$Q$ 太小时随机图保留原图结构的残余，可以监测聚集系数等指标随交换次数的变化，直到趋于平稳。若要求结果连通，交换后检查连通性并撤销导致断开的交换，代价是每步增加 $O(N+m)$。有向图用同样的方法交换“出端—入端”，可同时保持入度和出度。

E. NBS 的置换算法

算法 2  基于网络的统计（两组比较）
输入：每名被试的连接矩阵（Fisher z），组标签 g，主阈值 u，置换次数 B
输出：每个超阈值连通分量的 FWE 校正 p 值
1. 对每条边做两样本 t 检验，得到 t_ij
2. 保留 |t_ij| > u 的边，求连通分量 C_1, C_2, …，记录各分量边数 |C_k|
3. 对 b = 1..B：
4.     随机置换 g；重新计算全部 t_ij^(b)
5.     保留 |t_ij^(b)| > u 的边，求最大分量的边数 S_b
6. 对每个观测分量：p_k = (1 + #{b : S_b ≥ |C_k|}) / (B + 1)
复杂度：每次置换 O(n·N²) 计算检验统计量，加 O(N²) 求连通分量

有协变量时第 1 步改为一般线性模型，第 4 步改为置换残差。分量大小也可以用分量内统计量之和（“强度”）代替边数。

F. 高斯情形下 GC 与转移熵的等价

设 $(X,Y,Z)$ 联合高斯平稳。记 $\mathcal P^-=\{Y^{(k)}_{t-1},Z^{(k)}_{t-1}\}$ 为不含 $X$ 的过去，$\mathcal P^+=\mathcal P^-\cup\{X^{(l)}_{t-1}\}$。高斯变量的条件分布仍是高斯的，其条件方差等于对条件变量做线性回归的残差方差，记为 $\sigma^2_-$、$\sigma^2_+$。一维高斯分布的熵为 $H=\tfrac12\ln(2\pi e\sigma^2)$，于是

$$\mathrm{TE}_{X\to Y\mid Z}=H(Y_t\mid\mathcal P^-)-H(Y_t\mid\mathcal P^+)=\tfrac12\ln\frac{\sigma_-^2}{\sigma_+^2}=\tfrac12\,\mathcal F_{X\to Y\mid Z}.$$

$2\pi e$ 在相减时消去。等价性只依赖联合高斯假设，不要求 VAR 是“真实”的生成机制（Barnett, Barrett & Seth, 2009）。代码示例中两种算法的数值完全一致。

检验统计量：完整模型比受限模型多 $p$ 个参数。零假设 $b_1=\dots=b_p=0$ 下，$F=\frac{(\mathrm{RSS}_r-\mathrm{RSS}_f)/p}{\mathrm{RSS}_f/(T'-q_f)}\sim F_{p,T'-q_f}$（$T'=T-p$，$q_f$ 为完整模型参数个数）；由于 $\hat{\mathcal F}$ 较小时 $\hat{\mathcal F}\approx(\mathrm{RSS}_r-\mathrm{RSS}_f)/\mathrm{RSS}_f$，$T'\hat{\mathcal F}$ 近似服从 $\chi^2_p$。残差自相关或非平稳时，应改用基于替代数据（surrogate）的置换检验。

G. 随机节点采样下的度分布

设全网度分布 $P(k)$，生成函数 $G_0(x)=\sum_k P(k)x^k$。每个节点独立以概率 $p$ 被保留。对一个被保留、真实度为 $k$ 的节点，它的 $k$ 个邻居各自独立以概率 $p$ 被保留，因此观测度 $k'\mid k\sim\mathrm{Binomial}(k,p)$，

$$P'(k')=\sum_{k\ge k'}P(k)\binom{k}{k'}p^{k'}(1-p)^{k-k'} .$$

二项分布的生成函数为 $(1-p+px)^k$，对 $k$ 取期望得

$$G'_0(x)=\sum_k P(k)(1-p+px)^k=G_0(1-p+px).$$

对 $x$ 求导并令 $x=1$，得 $\langle k'\rangle=p\,G_0'(1)=p\langle k\rangle$；令 $x=0$，得被保留节点中孤立点的比例 $P'(0)=G_0(1-p)$。

封闭性：若 $P(k)$ 为泊松分布，$G_0(x)=e^{\langle k\rangle(x-1)}$，则 $G'_0(x)=e^{p\langle k\rangle(x-1)}$，仍是泊松分布，只是均值变为 $p\langle k\rangle$。若 $P(k)\propto k^{-\gamma}$，$G_0(1-p+px)$ 一般不再对应幂律：小 $k'$ 处的分布由二项稀释主导而明显弯曲，严格的幂律形式只在大 $k'$ 的尾部近似保留。这就是 Stumpf 等（2005）“无标度网络的子网不是无标度的”这一结论的来源。随机边采样在度分布上给出同样的稀释公式（以 $q$ 代替 $p$），但不产生节点缺失。代码示例中，用上式预测的 $P'(k')$ 与一次采样的经验分布基本一致。

H. 样本量公式与信度衰减

单条相关：备择 $\rho$ 下 $\sqrt{n-3}\,\operatorname{artanh}r\approx N\big(\sqrt{n-3}\operatorname{artanh}\rho,1\big)$。要以概率 $1-\beta$ 超过临界值 $z_{1-\alpha/2}$，需 $\sqrt{n-3}\operatorname{artanh}\rho\ge z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta}$，即正文公式（忽略另一侧尾部）。多元正态下，控制 $c$ 个变量的样本偏相关与样本量为 $n-c$ 的普通样本相关同分布，故其 Fisher $z$ 方差约为 $1/(n-c-3)$。

信度衰减：设 $x=x^*+e_x$、$y=y^*+e_y$，误差独立且与真分数无关，信度 $r_{xx}=\operatorname{Var}(x^*)/\operatorname{Var}(x)$。协方差不变而标准差分别放大 $1/\sqrt{r_{xx}}$、$1/\sqrt{r_{yy}}$，故 $\rho_{xy}=\rho_{x^*y^*}\sqrt{r_{xx}r_{yy}}$。