Ising 模型与二值症状数据

很多症状数据本来就是二值的：诊断访谈中的症状“有/无”、DSM 条目是否达到临床阈值。此时 GGM 的正态假设明显不成立。二值数据的对应模型是来自统计物理的 Ising 模型。

条件分布与边权的含义

固定其余全部症状，单个症状服从逻辑回归：

$$P(x_i=1\mid \mathbf x_{-i})=\sigma\Big(\tau_i+\sum_{j\ne i}\omega_{ij}x_j\Big),\qquad \sigma(u)=\frac1{1+e^{-u}} .$$

因此 $\omega_{ij}$ 是条件对数优势比：其余症状固定时，$x_j$ 从 0 变为 1 使 $x_i$ 出现的对数优势增加 $\omega_{ij}$。

算例：设 $\tau_i=-1.5$，$i$ 只与 $j$ 相连且 $\omega_{ij}=1.2$。$x_j=0$ 时 $P(x_i=1)=\sigma(-1.5)\approx0.18$；$x_j=1$ 时 $P(x_i=1)=\sigma(-0.3)\approx0.43$；条件优势比 $e^{1.2}\approx3.3$。对两个节点的网络还可以直接验证 $\dfrac{P(1,1)P(0,0)}{P(1,0)P(0,1)}=e^{\omega_{12}}$：$Z$ 与 $\tau$ 在比值中全部约去。

估计：逐节点 L1 逻辑回归（eLasso）

$Z$ 含 $2^p$ 项，$p$ 稍大时无法直接最大化似然。van Borkulo 等（2014, Scientific Reports）提出的 eLasso（R 包 IsingFit）利用上面的条件分布：

1. 对每个节点 $i$，以其余节点为自变量做 $\ell_1$ 正则化逻辑回归，得到 $\hat\beta_{ij}$ 与截距 $\hat\tau_i$；
2. 每个节点的 $\lambda$ 用 EBIC 选择（原文默认 $\gamma=0.25$）；
3. 合并两次估计：AND 规则要求 $\hat\beta_{ij}$ 与 $\hat\beta_{ji}$ 都非零才保留边，OR 规则只要求其一非零；边权取二者平均。

这一“伪似然”思路的计算量只是 $p$ 次逻辑回归。代码示例中先用 Gibbs 抽样从已知 Ising 模型生成数据，再用近端梯度法实现 L1 逻辑回归与 AND 规则，可以看到边的有无大体恢复，而边权被收缩。

与潜变量模型的等价

Ising 模型与心理测量学中的项目反应理论（IRT）模型有深刻联系：Marsman 等（2018, Multivariate Behavioral Research）系统说明了 Ising 网络模型与多维 IRT 模型在一定条件下给出相同的观测数据分布；Kruis & Maris（2016）给出了 Ising 模型与特定潜变量模型的统计等价结果。这意味着，仅凭数据拟合好坏，往往无法在“网络”与“潜变量”两种解释之间作出选择（见横断面统计依赖与因果作用）。