偏相关与高斯图模型

为什么不用相关网络

如果直接用相关系数构网，“失眠–注意力差”可能很强，但这可能完全来自它们共同与“疲乏”相关。相关网络会把间接关联也画成边，因而又密又难以解释。我们需要的是控制其他所有症状后仍然存在的关联。

偏相关与精度矩阵

在多元正态假设下，这正是高斯图模型（Gaussian graphical model, GGM）：设症状向量协方差为 $\Sigma$，其逆矩阵（精度矩阵）为 $K=\Sigma^{-1}$，则

$$\rho_{ij\cdot\text{rest}} = -\frac{K_{ij}}{\sqrt{K_{ii}K_{jj}}}$$

$\rho_{ij\cdot\text{rest}}=0$ 当且仅当在给定其余全部症状时，$i$ 与 $j$ 条件独立。GGM 中的边就是非零偏相关。该等价关系的推导见数学推导与算法。

算例：三个症状的链

设失眠（A）、疲乏（B）、注意力差（C）的相关为 $r_{AB}=0.5$，$r_{BC}=0.5$，$r_{AC}=0.25$。三变量时，一阶偏相关可以手算：

$$\rho_{AC\cdot B}=\frac{r_{AC}-r_{AB}r_{BC}}{\sqrt{(1-r_{AB}^2)(1-r_{BC}^2)}}=\frac{0.25-0.25}{0.75}=0,$$

$$\rho_{AB\cdot C}=\frac{0.5-0.5\times0.25}{\sqrt{(1-0.25^2)(1-0.5^2)}}=\frac{0.375}{\sqrt{0.9375\times0.75}}\approx0.447 .$$

相关网络里 A–C 有一条 0.25 的边；偏相关网络里这条边消失，A–B、B–C 两条边保留（同理 $\rho_{BC\cdot A}\approx0.447$）。这正是“A 与 C 只经由 B 相关”的情形。$p$ 个变量时不必逐个用递推公式，直接对相关矩阵求逆即可，代码示例中的第一个单元就是这样做的。

数据类型与输入矩阵

GGM 假设变量连续且近似多元正态。症状量表条目通常是 0–3 或 1–5 分的有序变量，常用做法是以多分格相关（polychoric correlation，假设每个有序条目背后有一个被切分的连续正态变量）代替皮尔逊相关作为输入；条目严重偏态（如一般人群中的自杀意念条目大多为 0）时，多分格相关估计本身也不稳定，需要检查。真正的二值变量（有/无）应使用 Ising 模型，类型混合的数据使用混合图模型。