可观测性与观测节点

在控制一个系统之前，先要知道它处在状态空间的什么位置。细胞内成千上万种代谢物、蛋白不可能同时测量，临床上也只能采集少数指标。可观测性问：从少数可测变量（输出）的时间序列，能否唯一推断系统的全部内部状态（等价地，推断初始状态 $\mathbf x(0)$）？

因此对线性系统，最少观测节点数 = 反向网络的最少驱动节点数，可直接用最大匹配求得；可观测性 Gramian $W_o=\int_0^\infty e^{A^\top\tau}C^\top Ce^{A\tau}d\tau$ 则刻画状态估计的难易（观测噪声被放大的程度）。

非线性系统：推断图与根强连通分支

对非线性系统，对偶性不再成立，而精确判据（基于李导数的秩条件）只能用于很小的系统，穷举观测组合需检验约 $2^N$ 种可能。Liu、Slotine 与 Barabási（2013，PNAS）提出图论方法：

1. 推断图：若变量 $x_j$ 出现在 $x_i$ 的微分方程中（$\partial f_i/\partial x_j\not\equiv0$），画一条边 $x_i\to x_j$，表示测量 $x_i$ 能获得关于 $x_j$ 的信息（推断图是系统影响图的反向图）。
2. 强连通分支分解：把推断图分解为极大强连通分支（SCC）；同一 SCC 内的节点彼此“可推断”。
3. 选择观测节点：没有入边的 SCC 称为根 SCC，每个根 SCC 至少放一个观测节点。

这个条件对线性系统一般不充分：结构对称性（扩张）也会造成不可观测，需要更多观测节点（代码示例：200 节点随机网络中根 SCC 有 44 个，而线性对偶给出的最少观测节点是 68 个；只放 44 个时可观测性矩阵的秩为 168/200）。但对生化反应等大型非线性系统，状态变量之间的对称性极少，Liu 等（2013）发现根 SCC 给出的观测集合往往既必要又充分。

目标可观测性与生物标志物

很多时候只需推断少数目标变量（例如与疾病相关、但难以直接测量的代谢物）。目标可观测性要求：观测节点到目标节点在推断图中存在有向路径（测量 $x_s$ 能推断 $x_t$ 的前提是 $x_s\to\cdots\to x_t$）。据此可以为每个目标找出最合适的可测变量——这为生物标志物设计提供了系统的方法：标志物不必是疾病相关分子本身，而是在网络中能“看到”它的分子。

参数可辨识性与网络重建。把未知参数（如反应速率常数）看作导数为零的额外状态变量，参数辨识就成了扩展系统的可观测性问题；若参数编码了连接是否存在，问题就推广为网络重建。这把可观测性与基因调控网络推断与共表达分析中的网络推断联系在一起。