驱动节点与网络结构

Liu 等（2011）分析了基因调控、食物网、代谢、神经元、互联网、社交等多类真实网络，以及模型网络，得到几条重要结论：

1. 驱动节点倾向于避开枢纽。直觉上应该控制连接最多的节点，但实际上驱动节点多为低度节点：枢纽能把信号传给许多邻居，但“一个输入只能独立控制一条路径”，枢纽的多个下游中只有一个能与它匹配。
2. 驱动节点比例 $n_D=N_D/N$ 主要由度分布决定。用随机打乱连边（保持度序列）的网络计算的 $n_D$ 与原网络接近，说明度分布是主要决定因素。
3. 网络越稀疏、度越异质，越难控制。平均度越高，越容易找到覆盖更多节点的匹配，$n_D$ 越小（对 ER 网络，平均度较大时 $n_D$ 近似按 $e^{-\langle k\rangle/2}$ 衰减）；入度或出度分布越不均匀，$n_D$ 越大。
4. 基因调控网络的 $n_D$ 相对较高，社交网络等稠密网络较低。

控制的鲁棒性：边的分类。删除一条边后：

• 关键边（critical）：必须增加驱动节点数才能维持控制；
• 冗余边（redundant）：驱动节点集合不受影响；
• 普通边（ordinary）：驱动节点集合会改变，但数目不变。

节点在控制中的角色。由于存在多个最小驱动节点集（minimum driver node set, MDS）：

• 关键节点：出现在所有 MDS 中（如没有入边的节点必须被直接驱动）；
• 普通（间歇）节点：只出现在部分 MDS 中；
• 冗余节点：不出现在任何 MDS 中。

Jia 等（2013，Nature Communications）进一步发现了控制模式的双峰性：一些网络属于集中控制（少数节点承担控制，冗余节点比例高），另一些属于分布式控制（控制可通过大量不同的节点配置实现），同一类模型网络在平均度变化时会在两种模式之间突然切换。

驱动节点从哪里来：控制轮廓

Ruths 与 Ruths（2014，Science）把驱动节点按“为什么需要它”分为三类：

• 源节点（source）：没有入边，必须直接驱动，个数 $N_s$；
• 外部扩张（external dilation）：汇节点（没有出边）多于源节点时，每个源节点只能“带”一个汇节点，多出的汇节点需要额外输入，个数 $N_e=\max(0,N_t-N_s)$，$N_t$ 为汇节点数；
• 内部扩张（internal dilation）：网络内部某处的路径必须分叉（某个子集的出边多于入边）所需的额外输入，个数 $N_i$。

三者之比 $(\eta_s,\eta_e,\eta_i)=(N_s,N_e,N_i)/N$ 称为网络的控制轮廓（control profile）。他们发现真实网络大体落在三类：神经与社交网络以源节点为主；食物网、航空网络以内部扩张为主；转录调控网络和信任层级网络以外部扩张为主（大量下游靶基因是汇节点）；常用的随机网络模型都不能复现真实网络的控制轮廓。对基因调控网络 $n_D$ 偏高这一现象，控制轮廓给出了结构解释：许多靶基因只接受调控、不调控别人。

边动力学：把状态放在边上

在社交或通信网络中，节点可以沿不同出边发出不同的信息，状态更适合定义在边上。Nepusz 与 Vicsek（2012，Nature Physics）的“交换机动力学”（switchboard dynamics）中，节点 $i$ 把入边上的信号线性映射到出边上。此时最少驱动节点由一个简单规则给出：选出所有发散节点（出度大于入度），再从每个“平衡分支”（全部节点出度等于入度的连通分支）中任选一个节点。结论与节点动力学相反：驱动节点偏好出度大的枢纽，度异质的网络反而更容易控制；入度与出度的正相关提高边动力学的可控性，而自环只改善节点动力学的可控性。这再次说明，“哪些节点重要”首先取决于把什么当作状态变量。