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网络可控性与稳定性02 / 17

线性系统的可控性

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可控性：如果存在输入 𝒖(t)\mathbf u(t)，能在有限时间内把系统从任意初始状态 𝒙(t0)\mathbf x(t_0) 驱动到任意目标状态 𝒙(T)\mathbf x(T)，则系统 (A,B)(A,B) 是可控的。

Kalman 秩判据：(A,B)(A,B) 可控，当且仅当可控性矩阵 𝒞=[B,AB,A2B,…,AN−1B]\mathcal C=[B,\;AB,\;A^2B,\;\dots,\;A^{N-1}B] 满秩，即 rank⁡𝒞=N\operatorname{rank}\mathcal C=N。

直观例子 1：链 1→2→31\to2\to3，只在节点 1 施加输入。输入先改变 x1x_1，x1x_1 再影响 x2x_2，x2x_2 再影响 x3x_3；三个方向的“推动”彼此独立，𝒞\mathcal C 满秩，一个输入就够。

直观例子 2：星 1→21\to2、1→31\to3，只在中心节点 1 施加输入。节点 2 和 3 收到的是同一个信号 x1x_1 的不同倍数，无法被独立地驱动到任意组合（例如在权重相同时，无法让 x2x_2 升高同时 x3x_3 降低），rank⁡𝒞=2<3\operatorname{rank}\mathcal C=2<3，不可控。至少还需要在 2 或 3 上加一个输入。

手算：设边权 a21=aa_{21}=a、a31=ba_{31}=b，其余为 0，B=𝒆1B=\mathbf e_1。则 B=(100),AB=(0ab),A2B=𝟎,rank⁡[B,AB,A2B]=2.B=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad AB=\begin{pmatrix}0\\a\\b\end{pmatrix},\quad A^2B=\mathbf 0, \qquad \operatorname{rank}[B,AB,A^2B]=2 . 不可控的方向是 𝒒=(0,b,−a)⊤\mathbf q=(0,b,-a)^\top：无论输入如何，bx2−ax3b\,x_2-a\,x_3 都只按自身规律演化（此处保持初值不变），状态被限制在一个平面内。这个平面就是该输入的可控子空间，其维数 2 即节点 1 的“控制中心性”（见控制中心性与可控子空间）。

PBH 判据：从特征向量看不可控

PBH 判据（Popov–Belevitch–Hautus）：(A,B)(A,B) 可控，当且仅当对 AA 的每个特征值 λ\lambda， rank⁡[λI−A,B]=N;\operatorname{rank}[\lambda I-A,\;B]=N ; 等价地，不存在 AA 的左特征向量 𝒒⊤\mathbf q^\top（𝒒⊤A=λ𝒒⊤\mathbf q^\top A=\lambda\mathbf q^\top）满足 𝒒⊤B=𝟎\mathbf q^\top B=\mathbf 0。

PBH 判据的直观含义是：若某个“模态”（左特征向量方向）与所有输入正交，这个模态就既不会被输入激发，也无法被输入抑制。星形例子中，𝒒=(0,b,−a)⊤\mathbf q=(0,b,-a)^\top 正是特征值 0 的左特征向量，且 𝒒⊤𝒆1=0\mathbf q^\top\mathbf e_1=0。PBH 判据只需对每个不同的特征值检查一次秩，避免了 AN−1A^{N-1} 的高次幂，也直接引出精确可控性：最少输入数等于 AA 的特征值几何重数的最大值。证明见数学推导与算法。

离散时间、对偶与可控子空间

  • 离散时间系统 𝒙(t+1)=A𝒙(t)+B𝒖(t)\mathbf x(t+1)=A\mathbf x(t)+B\mathbf u(t) 的可控性判据与连续时间完全相同（同一个 𝒞\mathcal C）；区别在于 Gramian 写成 W=∑τ=0T−1AτBB⊤(A⊤)τW=\sum_{\tau=0}^{T-1}A^\tau BB^\top(A^\top)^\tau。
  • 可控子空间：𝒞\mathcal C 的列空间 span⁡{B,AB,…,AN−1B}\operatorname{span}\{B,AB,\dots,A^{N-1}B\} 是输入能够到达的全部方向；不可控时，系统只能在这个子空间里被任意驱动。
  • 对偶：(A,C)(A,C) 可观测当且仅当 (A⊤,C⊤)(A^\top,C^\top) 可控，所以下文所有可控性结论都可以“翻转边的方向”后用于可观测性（见可观测性与观测节点）。

Kalman 判据在实际网络上难以直接使用：（1）需要知道每条边的精确权重，而生物网络的权重通常未知且随时间变化；（2）要检查 𝒞\mathcal C 是否满秩并找出最小输入集合，组合搜索的代价随 NN 指数增长（在 NN 个节点中选输入集合，有 2N−12^N-1 种可能）；（3）高次幂 AN−1A^{N-1} 导致严重的数值病态。

Kalman 判据的推导与可控性 Gramian

系统 𝒙̇=A𝒙+B𝒖\dot{\mathbf x}=A\mathbf x+B\mathbf u 的解为 𝒙(T)=eAT𝒙0+∫0TeA(T−τ)B𝒖(τ)dτ.\mathbf x(T)=e^{AT}\mathbf x_0+\int_0^Te^{A(T-\tau)}B\,\mathbf u(\tau)\,d\tau .

必要性：若 rank⁡𝒞<N\operatorname{rank}\mathcal C<N，存在非零向量 𝒒\mathbf q 使 𝒒⊤AkB=𝟎\mathbf q^\top A^kB=\mathbf 0，k=0,…,N−1k=0,\dots,N-1。由 Cayley–Hamilton 定理，ANA^N 及更高次幂都是 I,A,…,AN−1I,A,\dots,A^{N-1} 的线性组合，所以对所有 kk 都有 𝒒⊤AkB=𝟎\mathbf q^\top A^kB=\mathbf 0，进而 𝒒⊤eAtB=∑ktkk!𝒒⊤AkB=𝟎\mathbf q^\top e^{At}B=\sum_k\frac{t^k}{k!}\mathbf q^\top A^kB=\mathbf 0。于是 𝒒⊤𝒙(T)=𝒒⊤eAT𝒙0\mathbf q^\top\mathbf x(T)=\mathbf q^\top e^{AT}\mathbf x_0，与输入无关：状态在方向 𝒒\mathbf q 上的分量无法被控制。

充分性：定义可控性格拉姆矩阵（controllability Gramian） W(T)=∫0TeAτBB⊤eA⊤τdτ.W(T)=\int_0^Te^{A\tau}BB^\top e^{A^\top\tau}\,d\tau . 若 𝒒⊤W𝒒=∫0T∥𝒒⊤eAτB∥2dτ=0\mathbf q^\top W\mathbf q=\int_0^T\|\mathbf q^\top e^{A\tau}B\|^2d\tau=0，则 𝒒⊤eAτB≡𝟎\mathbf q^\top e^{A\tau}B\equiv\mathbf 0，在 τ=0\tau=0 处逐次求导得 𝒒⊤AkB=𝟎\mathbf q^\top A^kB=\mathbf 0，与满秩矛盾。所以满秩时 W(T)W(T) 正定可逆。取 𝒖(t)=B⊤eA⊤(T−t)W(T)−1(𝒙T−eAT𝒙0),\mathbf u(t)=B^\top e^{A^\top(T-t)}\,W(T)^{-1}\big(\mathbf x_T-e^{AT}\mathbf x_0\big), 代入解的表达式即得 𝒙(T)=𝒙T\mathbf x(T)=\mathbf x_T。

可控性 Gramian 与控制能量：上面的输入恰好是能量 ∫∥𝒖∥2dt\int\|\mathbf u\|^2dt 最小的输入，最小能量为 𝒅⊤W(T)−1𝒅\mathbf d^\top W(T)^{-1}\mathbf d，其中 𝒅=𝒙T−eAT𝒙0\mathbf d=\mathbf x_T-e^{AT}\mathbf x_0。因此 WW 的最小特征值决定了“最难到达的方向”需要多少能量：秩判据只回答能不能控，不回答代价多大。

控制能量如何随控制时间、驱动节点数和网络结构变化，以及 Gramian 求逆时的数值困难，见控制能量与 Gramian 的数值问题。脑网络研究中的“平均可控性”“模态可控性”（Gu 等 2015）正是从控制代价的角度刻画节点作用的指标，见脑网络控制：平均与模态可控性与生物医学应用。

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