动态系统与网络控制

用状态向量 $\mathbf x(t)=(x_1(t),\dots,x_N(t))^T$ 描述网络中 $N$ 个节点的状态（如基因表达水平），在平衡点附近用线性时不变系统近似：

$$\frac{d\mathbf x}{dt}=A\mathbf x(t)+B\mathbf u(t)$$

$A$ 是 $N\times N$ 的系统矩阵，$a_{ij}\neq0$ 表示节点 $j$ 影响节点 $i$（即有向边 $j\to i$）；$\mathbf u(t)$ 是 $M$ 维外部输入；$B$ 是 $N\times M$ 的输入矩阵，指明输入施加在哪些节点上。

这一表述有两处需要记住的建模选择。第一，线性模型是平衡点附近的近似，基因调控等生物网络本质上是非线性、多稳态的（见非线性网络的控制与研究前沿与开放问题）。第二，“控制到任意状态”是很强的要求，远强于“从疾病态到健康态”的实际需求。后文的结构可控性、最大匹配、控制核心点、目标控制等方法，都可以看作在这两处假设上的不同取舍。

完整的状态空间模型：输入、状态与输出

实际系统中我们既不能对每个节点施加输入，也不能测量每个节点。完整的线性状态空间模型同时写出输出方程： $$\dot{\mathbf x}=A\mathbf x+B\mathbf u,\qquad \mathbf y=C\mathbf x .$$ $C$ 是 $K\times N$ 的输出矩阵，每一行选出一个被测量的节点（观测节点或传感节点，sensor node）。脑影像、电生理和临床量表常采用离散时间形式 $\mathbf x(t+1)=A\mathbf x(t)+B\mathbf u(t)$，此时“稳定”的条件从“特征值实部为负”变为“特征值模小于 1”，Gramian 的积分变为求和（见脑网络控制：平均与模态可控性）。

围绕这个模型可以提出五个层次不同的问题：

此外，非线性系统的“控制”通常不再是“到达任意状态”，而是“到达系统自身的某个吸引子”（例如从一种细胞表型切换到另一种），对应的结构判据是反馈顶点集（见非线性网络的控制）。