目标控制与部分可控
药物治疗、神经调控往往只需要改变少数“目标”变量——致病蛋白的活性、某些肌肉的状态、某个脑区的活动——而其余节点状态任意。Gao、Liu、D’Souza 与 Barabási(2014,Nature Communications)把它形式化为目标控制(target control)。
目标可控性:给定目标节点集合 (),用输出矩阵 选出这些节点。若存在输入能在有限时间内把 驱动到任意值,则称 对 目标可控(输出可控),判据为
k-walk 理论(单输入、有向树):一个节点能控制一组目标节点,只要从它到每个目标节点的路径长度互不相同。直观上,长度为 的路径在 中第一次出现,长度不同的目标在可控性矩阵中“错开”出现,因而线性无关;长度相同的两个目标(如星形的两个叶子)只能收到同一信号的不同倍数。该结论在无环的树状网络中严格成立,并且能找出结构可控性理论遗漏的可控子系统。
多输入的贪心算法(GA):
- 构造二分图:右侧是当前目标集合,左侧是指向这些目标的上游节点;求最大匹配;
- 未被匹配的目标必须直接驱动,加入驱动集合(第一轮的结果给出所需驱动节点数的下界);
- 被匹配的上游节点成为新的“目标”,重复 1–2,直到目标集合为空或开始重复;
- 输出驱动集合(若只迭代一轮就收敛,结果恰好是最小值)。
论文证明该集合确实能控制全部目标,但一般不保证最少;用最大匹配做全控制则给出上界——全控制的驱动节点集合高估了目标控制的需要。伪代码见数学推导与算法。代码示例中,40 节点随机有向网络全控制需要 13 个驱动节点,而随机选 4、10、20 个目标分别只需 2、4、8 个,且都通过目标可控性秩检验。
结构如何影响目标控制。与全控制相反,当平均度较大时,度异质的网络(如无标度网络)比 ER 网络有更高的目标控制效率;控制网络中“局部聚集”的目标(彼此相邻)比控制随机散布的目标更省驱动节点(Gao 等 2014)。
目标控制在生物系统中的应用。(1)线虫运动控制:Yan 等(2017,Nature)以触觉感受神经元为输入、肌肉为目标,用目标可控性预测消融后会降低肌肉可控性的神经元,并实验验证了 PDB 与 DD04/DD05 的作用(见精读 Yan 2017)。(2)癌症蛋白网络:Kanhaiya 等(2017,Scientific Reports)在乳腺癌、胰腺癌和卵巢癌的有向蛋白相互作用网络中,以各癌种的生存必需蛋白为目标,找到能控制它们的较小驱动节点集合,并把驱动节点限制在 FDA 已批准药物的靶点中——部分药物已用于相应癌症,另一些提示重定位的可能。两项研究都说明,定义合适的目标集合是把可控性理论用于生物医学问题的关键一步。
目标控制仍是线性、结构意义上的结论:它保证“存在输入使目标到达任意值”,但非目标节点可能被推到极端甚至生理上不允许的状态,而且控制能量可能很大。另一种思路是要求非目标节点“保持不动”或保持在安全范围内,这需要额外的约束。