加权脑网络指标与归一化

脑网络天然是加权的：流线密度跨越几个数量级，相关系数在 $-1$ 到 $1$ 之间连续取值。把它们二值化会丢弃信息并引入阈值依赖，因此 Rubinov & Sporns（2010）和 Fornito 等（2016，第 4–7 章）都把加权版本作为与二值版本并列的基本工具。下面以无向加权矩阵 $W=(w_{ij})$、$w_{ij}\ge 0$ 为例。

强度与加权度分布

在 FC 网络中，强度与节点所在模块的大小、节点信号的信噪比都有关；在 SC 网络中，强度与节点体积、追踪参数强相关。因此比较强度之前，要先明确边权是否已经按体积或总量归一化。

加权聚集系数

二值聚集系数数三角形；加权版本需要决定一个三角形“有多强”。最常用的 Onnela 等（2005, Physical Review E）定义取三角形三条边权的几何平均：

$$C_i^{w}=\frac{1}{k_i(k_i-1)}\sum_{j,h}\big(\hat w_{ij}\,\hat w_{ih}\,\hat w_{jh}\big)^{1/3},\qquad \hat w_{ij}=\frac{w_{ij}}{\max_{kl} w_{kl}} .$$

其中 $k_i$ 是节点 $i$ 的（二值）度。当所有权重相等时它退化为普通聚集系数。BCT 的 clustering_coef_wu 与 NetworkX 的 clustering(G, weight=...) 都采用这一定义。注意它按全网最大权重归一化，所以对权重的整体缩放不变，但对单条极大权重（离群边）很敏感。

加权路径长度与效率

在加权网络中，最短路径需要一个“长度”。权重表示连接强度，强连接应该“近”，所以要先把权重转换为长度，常用 $\ell_{ij}=1/w_{ij}$ 或 $\ell_{ij}=-\log w_{ij}$（后者要求 $0<w\le 1$），再用 Dijkstra 算法求最短路径长度 $d^w_{ij}$。加权全局效率为

$$E^{w}_{\text{glob}}=\frac{1}{N(N-1)}\sum_{i\ne j}\frac{1}{d^{w}_{ij}} .$$

与聚集系数不同，加权效率随权重的整体缩放成比例变化：所有权重乘以 0.7，所有路径长度乘以 $1/0.7$，效率也乘以 0.7。因此如果患者组整体 FC 偏弱，不加处理的加权效率必然偏低——这与绝对阈值下的密度问题是同一个陷阱的加权版本。配套代码的加权指标示例演示了这一点。

归一化：三种不同的含义

“归一化”在脑网络文献中至少有三种含义，报告时要写清楚：

1. 权重归一化：把边权缩放到 $[0,1]$（除以最大权重或某个分位数），或对每个被试除以总强度，使不同被试的权重尺度可比。代价是丢掉了“整体连接强度”这一信息——它本身可能就是组间差异所在，可以作为单独的变量报告。
2. 指标的零模型归一化：用保留某些性质的随机网络计算同一指标，取比值 $M/M_{\text{null}}$ 或 $z$ 分数，例如 $C/C_{\text{rand}}$、$\phi_{\text{norm}}(k)$。加权网络的零模型可以在保持度序列的同时置换权重，或者近似保持强度序列（BCT 的 null_model_und_sign）。
3. 分布归一化：对边权做对数、秩变换或 Fisher $z$ 变换，以减弱偏态分布和离群值的影响。

负权

FC 矩阵中的负相关有三种可能来源：真实的拮抗关系（如任务正网络与默认模式网络之间）、全局信号回归引入的数学负值、以及噪声。多数加权指标要求非负权重，常见做法有：只分析正权；取绝对值（把拮抗与协同视为同一种“连接”，通常不推荐）；正负分开分析。模块度可以直接处理带符号权重：Rubinov & Sporns（2011, NeuroImage）提出的非对称模块度对正权部分给予全权重，对负权部分按其占总权重的比例降权（公式见数学推导与算法），理由是负权的生物学含义不如正权确定。