功能连接估计：相关与偏相关

静息态 fMRI 的血氧水平依赖（BOLD）信号经过预处理后，对每个 ROI 取平均时间序列，再计算两两之间的统计量：

$$r_{ij} = \frac{\sum_t (x_{it}-\bar x_i)(x_{jt}-\bar x_j)}{\sqrt{\sum_t (x_{it}-\bar x_i)^2}\sqrt{\sum_t (x_{jt}-\bar x_j)^2}}$$

组分析前常做 Fisher $z$ 变换 $z = \operatorname{artanh}(r)$，使其近似正态（推导见数学推导与算法）。

偏相关（partial correlation）在控制其余所有脑区后衡量两区之间的关联，可由协方差矩阵的逆（精度矩阵）$\Theta=\Sigma^{-1}$ 得到：$\rho_{ij\cdot\text{rest}} = -\Theta_{ij}/\sqrt{\Theta_{ii}\Theta_{jj}}$。偏相关能去掉一部分由共同输入或间接路径带来的连接，更接近“直接”关联；代价是需要的时间点更多，当时间点数与 ROI 数相近时必须加正则化（如图形 LASSO）。同一思路在症状网络的高斯图模型中是核心方法。

估计量的比较

Smith 等（2011, NeuroImage）用逼真的模拟 fMRI 数据（已知真实网络）比较了多类估计方法，结论可以概括为三点：基于相关的方法（尤其是偏相关和正则化逆协方差）在发现“有没有连接”上表现良好；基于高阶统计量的方法敏感度较低；基于时间滞后的方法（包括格兰杰因果）表现很差；方向的估计普遍比连接存在与否难得多。这一结果是选择估计量时最常被引用的依据之一。

Nilearn 的 ConnectivityMeasure 直接提供了 correlation、partial correlation、tangent、covariance、precision 几种类型，便于在同一数据上比较（见延伸资源）。