有效连接：动态因果模型与格兰杰因果

功能连接回答“谁和谁一起变化”，有效连接要回答“谁影响谁”。Friston（2011, Brain Connectivity）把两者的区别概括为：功能连接是对观测数据统计依赖的描述，有效连接是某个生成模型的参数——它的意义取决于模型是否正确。

格兰杰因果（Granger causality, GC）

Granger（1969, Econometrica）的定义基于预测：如果在已知 $y$ 自身过去值的前提下，再加入 $x$ 的过去值能显著改进对 $y$ 当前值的预测，就说 $x$ “格兰杰引起” $y$。实际计算用向量自回归（VAR）模型，比较只含 $y$ 过去值的受限模型与同时含 $x$、$y$ 过去值的完整模型的残差方差（公式见数学推导与算法）。

GC 的优点是不需要事先指定网络结构，计算简单，可以推广到频域和多变量（条件 GC）。但用在 fMRI 上有三个根本问题（Seth 等, 2015, J Neurosci）：

1. 血流动力学的区域差异：BOLD 是神经活动经过血流动力学响应函数（HRF）平滑和延迟后的信号，HRF 的峰值时间在脑区之间、个体之间可以相差 1–2 秒，远大于神经信号之间的传导延迟。如果被驱动区的 HRF 恰好更快，BOLD 上的时间先后就可能与神经上的因果方向相反。David 等（2008, PLoS Biology）在失神癫痫大鼠模型中同时记录 EEG–fMRI 和颅内电生理，发现只有在显式去除血流动力学影响后，fMRI 才能正确识别放电的起源区；直接对 fMRI 信号做时间先后分析则失败。
2. 血管结构的系统性混杂：Webb 等（2013, PLoS ONE）在一千多名被试的数据中发现，BOLD 的 GC 估计虽然高度可重复，但其空间分布沿着从 Willis 环动脉供血区到大静脉窦的方向排列——它反映的是血管解剖，而不是神经信息流。
3. 采样过慢与测量噪声：TR 为秒级，而神经交互是毫秒级；降采样和加性噪声都会扭曲甚至反转 GC 的方向估计。

配套代码中的格兰杰因果示例用模拟数据演示了第一点：神经层面 $x\to y$ 的方向清晰，经过两区相同的 HRF 后方向大体保留，而当被驱动区的 HRF 更快时，BOLD 上判定的方向发生反转。GC 在时间分辨率高的电生理数据（EEG/MEG、颅内电极）上更有用武之地，但那里又有容积传导的问题（见EEG/MEG 网络）。

动态因果模型（dynamic causal modelling, DCM）

DCM（Friston 等, 2003, NeuroImage）的思路相反：先写出一个生成模型，描述隐藏的神经状态如何相互作用、如何受实验输入调制、又如何经过血流动力学模型生成观测到的 BOLD 信号，然后用贝叶斯方法反演模型参数。经典的双线性神经状态方程是

$$\dot{\mathbf z}=\Big(A+\sum_{j}u_j B^{(j)}\Big)\mathbf z + C\mathbf u,$$

其中 $\mathbf z$ 是少数几个脑区的神经状态，$A$ 是固有的有效连接，$B^{(j)}$ 是第 $j$ 个实验条件对连接的调制，$C$ 是外部输入的直接作用。每个脑区的神经状态再经过一个区域特异的血流动力学模型（“气球模型”）映射到 BOLD，从而把 HRF 的区域差异显式纳入模型，这正是它与 GC 的关键区别。

DCM 的核心推断是模型比较：研究者提出若干个在连接结构上不同的候选模型，用近似的模型证据（自由能）比较哪个模型更能解释数据。Stephan 等（2010, NeuroImage）总结的使用原则包括：DCM 是假设驱动的，只能在研究者给定的模型空间内比较；脑区数通常只有几个到十几个；结论是“在这些候选模型中，某个模型最好”，而不是“发现了真实的因果网络”。后来发展的谱 DCM、回归 DCM 等变体把方法扩展到静息态和更大的网络，但模型依赖这一本质没有改变。