拓扑指标：小世界、模块、枢纽与富人俱乐部

小世界：分离与整合的平衡

大脑面临两种需求：功能分离（segregation）——专门化的处理在局部紧密连接的脑区群内完成；功能整合（integration）——不同区域的信息需要快速汇总。对应的图论指标：

• 分离：聚集系数 $C$、局部效率、模块度 $Q$；
• 整合：特征路径长度 $L$，或全局效率

$$E_{\text{glob}} = \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i\neq j} \frac{1}{d_{ij}}$$

全局效率的好处是不连通的节点对（$d_{ij}=\infty$）贡献为 0，不会让平均值发散，适合阈值化后可能断开的脑网络。

小世界网络的定义是 $C$ 远高于随机网络、$L$ 接近随机网络（见小世界与无标度网络模型）。脑网络研究常用小世界指数（Humphries & Gurney, 2008）：

$$\sigma = \frac{C/C_{\text{rand}}}{L/L_{\text{rand}}}, \qquad \sigma > 1 \text{ 视为小世界}$$

Achard 等（2006, J Neurosci）在静息态 fMRI 中报告了小世界的功能网络；Hagmann 等（2008, PLoS Biology）在 5 名被试的弥散谱成像结构网络（998 个皮层 ROI）中报告了高聚集、短路径和一个位于后内侧与顶叶皮层的“结构核心”，并显示结构连接强度能在相当程度上预测静息态 FC（精读）。

模块：功能系统

用模块度最大化（如 Louvain 算法，见社团结构与社区发现）划分静息态功能网络，通常得到与已知功能系统相对应的模块：视觉、躯体运动、背侧注意、腹侧注意、边缘、额顶控制和默认模式网络等（Yeo 等, 2011 的 7 网络划分是常用参照）。模块划分有两个方法学要点：模块度优化存在大量近似最优解，应多次运行取共识划分；不同分辨率参数会给出不同粗细的模块。功能系统的来源、比较与节点角色划分见模块与功能系统。

枢纽：度不是唯一标准

枢纽（hub）是连接多、位置关键的脑区。结构网络中常被识别为枢纽的有楔前叶/后扣带回、额上回、顶上小叶、岛叶等。

但在功能网络里，度中心性会被模块大小绑架：一个属于大模块（如默认模式网络）的脑区，仅因为模块内成员多，就会有很高的度。Power 等（2013, Neuron）因此建议用参与系数（participation coefficient）识别功能枢纽：

$$P_i = 1 - \sum_{s=1}^{M} \left(\frac{k_{is}}{k_i}\right)^2$$

其中 $k_{is}$ 是节点 $i$ 连到模块 $s$ 的边数。$P_i$ 接近 0 表示连接都在一个模块内（“省内枢纽”），接近 1 表示连接均匀分布在多个模块（“连接枢纽”，connector hub）。$P_i$ 的上限是 $1-1/M$，模块数不同的网络之间不宜直接比较 $P_i$ 的绝对值。

除度和参与系数外，常用的中心性还有介数（经过节点的最短路径比例）、接近中心性和特征向量中心性。在结构网络中，Hagmann 等（2008）把度、强度、介数、效率等多个指标的排名综合起来定义“结构核心”，这比依赖单一指标更稳健。

富人俱乐部

富人俱乐部（rich club）指高度节点之间彼此连接的倾向比随机预期更强。富人俱乐部系数为

$$\phi(k) = \frac{2E_{>k}}{N_{>k}(N_{>k}-1)}$$

即度大于 $k$ 的 $N_{>k}$ 个节点之间实际边数占可能边数的比例。由于高度节点“天然”更可能相连，需要用保持度序列的随机网络归一化：$\phi_{\text{norm}}(k)=\phi(k)/\phi_{\text{rand}}(k)$，在一段 $k$ 范围内 $\phi_{\text{norm}}>1$ 才说明存在富人俱乐部。