边时间序列

边时间序列（edge time series）把相关系数“拆开”到每一个时间点上，是时间分辨率最高、也最直接的分解。

定义与恒等式

把每个脑区信号 $z$ 标准化（用总体标准差）：$z_i(t)=(x_i(t)-\bar x_i)/\sigma_i$。定义边 $(i,j)$ 在时刻 $t$ 的共波动

$$e_{ij}(t)=z_i(t)\,z_j(t).$$

则皮尔逊相关恰好是它的时间平均：

$$r_{ij}=\frac1T\sum_{t=1}^{T}e_{ij}(t).$$

$e_{ij}(t)>0$ 表示两脑区在这一刻同向偏离各自均值，$<0$ 表示反向偏离。每帧的整体共波动幅度常用所有边的均方根（RSS）$\sqrt{\sum_{i<j}e_{ij}(t)^2}$ 表示。

Faskowitz 等（2020, Nature Neuroscience）进一步计算边时间序列之间的相关，得到 $E\times E$ 的边功能连接（edge functional connectivity, eFC，$E$ 为边数）。对 eFC 聚类得到的是“边的社团”，映射回脑区时自然形成重叠社团：一个脑区的不同边可以属于不同社团。他们报告感觉运动和注意网络的脑区重叠程度最高，并且 eFC 在不同数据集间一致、在同一个体多次扫描间可重复。关于重叠社团的一般方法见重叠社团。

Zamani Esfahlani 等（2020, PNAS）发现 RSS 的分布有重尾：只取共波动幅度最高的一小部分帧（文中以 5% 为主要比较），重建的 FC 就与整体 FC 非常相似，而幅度最低的 5% 帧则差得多；高幅度帧主要对应默认模式与控制网络的活动，并携带个体特异的信息。

争议：静态 FC 能解释多少？

随后的工作指出，上述现象很大程度上可以由静态 FC 预测。Novelli & Razi（2022, Nature Communications）从数学上说明，在忽略时间相关的静态零假设下，eFC、边社团和少数大幅共波动都能由节点层面的相关矩阵推出；Ladwig 等（2022, NeuroImage）用模拟显示，“事件”并非离散的特殊时刻，共波动与网络结构之间是渐变关系，随机选取、间隔足够的时间点也能大致同样好地重现网络结构。两项工作都鼓励使用利用时间结构的动态指标，因为这类指标无法被静态零模型复制。