隐马尔可夫模型

k-means 把每个窗口独立地归类，没有利用“相邻时间点往往处于同一状态”这一信息，也离不开窗口。隐马尔可夫模型（hidden Markov model, HMM）把状态序列本身作为模型的一部分。

生成模型

设隐状态 $s_t\in\{1,\dots,K\}$ 服从一阶马尔可夫链，初始分布 $\pi_k$，转移矩阵 $A_{kl}=P(s_{t+1}=l\mid s_t=k)$；给定状态时，观测的多脑区信号 $\mathbf x_t\in\mathbb R^N$ 服从该状态的分布，在 fMRI 中常用高斯分布

$$p(\mathbf x_t\mid s_t=k)=\mathcal N(\mathbf x_t;\boldsymbol\mu_k,\Sigma_k).$$

$\boldsymbol\mu_k$ 描述该状态的平均活动，$\Sigma_k$ 描述该状态的连接（协方差）。只用 $\Sigma_k$（令 $\boldsymbol\mu_k=0$）时，状态就是纯粹的“连接状态”。一个直接推论是：停留时间服从几何分布，期望为 $1/(1-A_{kk})$。

推断与学习

• 前向–后向算法：用递推 $\alpha_t(k)=p(\mathbf x_t\mid k)\sum_j\alpha_{t-1}(j)A_{jk}$ 和对应的后向递推，在 $O(TK^2)$ 时间内求出每个时间点处于各状态的后验概率 $\gamma_t(k)$；
• Baum–Welch（EM）算法：交替计算后验（E 步）和更新 $\pi,A,\boldsymbol\mu_k,\Sigma_k$（M 步），收敛到似然的局部极大；
• Viterbi 算法：求最可能的整条状态序列。

这些算法的标准推导见 Rabiner（1989）的经典教程；推导要点见数学推导与算法，可运行实现见代码示例。实际神经影像软件（如 HMM-MAR、osl-dynamics）多采用变分贝叶斯推断，在多名被试的拼接数据上估计共同的状态，再为每人得到各自的状态时间进程。对电生理数据，状态的观测模型也可以是多元自回归（HMM-MAR），使每个状态带有自己的频谱特征（Vidaurre 等, 2016）。

代表性发现

Vidaurre 等（2017, PNAS）在静息态 fMRI 上用 HMM 发现：状态之间的转移不是随机的，某些状态更可能接在另一些状态之后；转移结构本身呈层级组织，分成两组元状态（metastate）——一组与感觉运动区有关，另一组涉及高级认知相关脑区，大脑倾向于在同一组内循环。每名被试在各状态和元状态上的占时比例是稳定的个体特征，具有遗传性，并与认知特质相关。在 MEG 上，Baker 等（2014, eLife）用 HMM 识别出持续约 100–200 毫秒的短暂状态，其空间分布与经典静息态网络相似。