时频分析与小波相干

滑动窗口只用一个窗长，等于默认所有频率的连接都在同一时间尺度上变化。时频分析放开了这一限制：低频成分用长窗口、高频成分用短窗口，同时得到连接随时间和频率的变化。

连续小波变换

对信号 $x(t)$，连续小波变换在尺度 $s$、时间 $t$ 处的系数为

$$W_x(s,t)=\int x(\tau)\,\frac{1}{\sqrt s}\,\psi^*\!\Big(\frac{\tau-t}{s}\Big)\,d\tau ,$$

常用的母小波是 Morlet 小波 $\psi(\eta)=\pi^{-1/4}e^{i\omega_0\eta}e^{-\eta^2/2}$（通常取 $\omega_0=6$），此时尺度与傅里叶周期近似成正比，$P\approx 2\pi s/\omega_0$。尺度越大，小波在时间上越宽：低频估计用的数据多、时间定位粗，高频反之。

小波相干

两条信号的交叉小波谱为 $W_{xy}=W_xW_y^*$，其幅角给出局部相位差。小波相干（wavelet transform coherence）对交叉谱和各自功率谱做平滑后取比值：

$$R^2(s,t)=\frac{\big|S\big(s^{-1}W_{xy}(s,t)\big)\big|^2}{S\big(s^{-1}|W_x(s,t)|^2\big)\cdot S\big(s^{-1}|W_y(s,t)|^2\big)},$$

其中 $S$ 是沿时间和尺度的平滑算子。若不平滑，分子分母逐点相等，$R^2$ 恒为 1，所以平滑是相干估计不可缺少的一步，平滑核的宽度决定了估计的方差与时间分辨率。$R^2$ 可以理解为“局部的、按频率分解的相关系数平方”。Grinsted 等（2004）给出了这一方法的通用实现及蒙特卡洛显著性检验。

Chang & Glover（2010）首先把小波相干系统用于静息态 fMRI：以后扣带回为种子，发现它与“反相关”（任务正激活）网络之间的相干和相位差在时间和频率上都有变化，蒙特卡洛检验显示存在依赖尺度的显著时间变异；作者同时指出，无法确定这些变异来自残余噪声还是认知状态的调制。