多层网络

多层网络（multilayer network）把多种关系或多个时间点放在同一个数学对象里：每一层是一个网络，同一个节点在不同层之间由层间边相连（Kivelä 等, 2014 的综述给出了统一的形式化）。脑网络中有两种常见构造：

• 时间多层：每一层是一个时间窗的功能网络，相邻层的同一脑区以权重 $\omega$ 相连（有序耦合）；
• 多模态多层（multiplex）：一层是结构网络，一层是功能网络（或不同频段的 MEG 网络），节点相同，每一层与其他所有层的同一节点相连（类别耦合）。

超邻接矩阵

把 $L$ 层、每层 $N$ 个节点的多层网络写成 $NL\times NL$ 的超邻接矩阵（supra-adjacency matrix）：对角块是各层的邻接矩阵 $A_l$，非对角块是层间耦合 $\omega_{lr}I_N$。例如 $L=3$ 的有序时间多层：

$$\mathcal A=\begin{pmatrix}A_1 & \omega I & 0\\ \omega I & A_2 & \omega I\\ 0 & \omega I & A_3\end{pmatrix}.$$

这样，许多单层网络的工具（随机游走、谱方法、社团检测）可以直接作用于 $\mathcal A$；但要注意层间边与层内边的含义不同，“度”“路径长度”等指标在超图上的解释需要重新定义。

多层模块度

Mucha 等（2010, Science）把模块度推广到多层网络（也称 multislice modularity）：

$$Q_{\text{ml}} = \frac{1}{2\mu}\sum_{ijlr}\Big[\big(A_{ijl} - \gamma_l \frac{k_{il}k_{jl}}{2m_l}\big)\delta_{lr} + \delta_{ij}\,\omega_{jlr}\Big]\delta(g_{il}, g_{jr})$$

其中 $g_{il}$ 是节点 $i$ 在第 $l$ 层的社团标签，$2\mu=\sum_{jr}\kappa_{jr}$ 是全部层内与层间强度之和。$\gamma$ 控制模块的粗细，$\omega$ 控制层间一致性：$\omega$ 越大，同一脑区在不同时间越倾向于属于同一模块。该推导来自随机游走在多层网络上的稳定性（推导要点见数学推导与算法）。单层模块度的定义见模块度，常用的优化算法是在超模块度矩阵上运行的广义 Louvain（GenLouvain），算法思想见Louvain 与 Leiden 算法。

算例：两层、每层 2 个节点 $\{a,b\}$。若第 1 层 $a,b$ 同属一个模块、第 2 层分开，则 $a$ 在两层的标签相同，$b$ 改变；层间项 $\omega\,\delta_{ij}\delta(g_{il},g_{jr})$ 只对 $a$ 的那一对 $(a_1,a_2)$ 计入 $2\omega$（双向），$b$ 的那一对不计入。所以 $\omega$ 越大，“让 $b$ 也保持不变”的收益越大，与层内结构的收益相互竞争。