重叠社团

上面的方法都把每个节点只分到一个社团。但一个人可以同时属于家庭、同事、球友几个圈子；一个蛋白也可以同时参与多个复合物；一个脑区可以参与多个功能系统。

团渗流（CFinder）

团渗流方法（clique percolation，Palla 等，2005）允许社团重叠：把 $k$ 个节点两两相连的子图称为 $k$-团，共享 $k-1$ 个节点的两个 $k$-团视为“相邻”，相互可达的 $k$-团的并集构成一个 $k$-团社团。一个节点可以属于多个这样的社团。直观上，可以想象一个 $k$-团“模板”在网络上滚动：每次移动一个节点到新位置，只要新位置仍构成 $k$-团，模板就能继续滚动；模板能到达的所有位置构成一个社团。

随机网络中的渗流阈值：团渗流社团会不会在随机网络中偶然出现？Derényi、Palla 与 Vicsek（2005）推导出 ER 网络中 $k$-团渗流的阈值 $$p_c(k)=\frac{1}{[(k-1)N]^{1/(k-1)}}.$$ $k=2$ 时 $p_c=1/N$，即巨连通分支出现的条件；$k=3$ 时 $p_c=1/\sqrt{2N}$。连接概率低于 $p_c(k)$ 时，随机网络中只有零散的 $k$-团，不会形成大的 $k$-团社团。因此，若真实网络中存在大的 $k$-团社团，而它的边密度低于对应的阈值，就说明这些社团不是密度带来的偶然产物（推导见数学推导与算法）。

团渗流的局限：$k$ 需要人为选择；网络中没有三角形的部分（如树状边缘）不属于任何社团；在稠密网络中可能形成一个巨大的社团。在空手道网络上，$k=3$ 得到一个 25 节点的大社团，$k=4$ 时则有 22 个节点不属于任何社团（代码示例）。

连边社团（link communities）

Ahn、Bagrow 与 Lehmann（2010）提出把边而不是节点分组：每条边只属于一个社团，而节点通过它的不同边自然地属于多个社团。具体做法：

1. 对共享一个端点 $k$ 的两条边 $e_{ik}$、$e_{jk}$，定义相似度 $S(e_{ik},e_{jk})=\dfrac{|n_+(i)\cap n_+(j)|}{|n_+(i)\cup n_+(j)|}$，$n_+(i)$ 为包含 $i$ 自身的邻居集；
2. 对边做单连接层次聚类，得到边的树状图；
3. 在使划分密度 $D=\frac{2}{M}\sum_c m_c\frac{m_c-(n_c-1)}{(n_c-2)(n_c-1)}$ 最大的高度切割（$M$ 为总边数，$m_c$、$n_c$ 为连边社团 $c$ 的边数与节点数）。

$D$ 衡量每个连边社团比同样节点数的树多出多少边。连边聚类同时给出层次与重叠，适合“每个节点参与很多不同情境”的网络；Ahn 等在包括蛋白质相互作用在内的多个网络上展示了它。一个与之相关的思路是在线图（以边为节点）上做普通的社团划分（Evans 与 Lambiotte 2009）。

其他途径

• 混合成员 SBM、OSLOM 等统计方法给出节点在各社团中的隶属程度；
• 对 Louvain 等不重叠算法多次运行，节点在不同运行中所属社团的变化本身就提示其“跨社团”的地位（见共识聚类）；
• 参与系数（验证与解读）是在不重叠划分上刻画“节点连接多个社团”的简单指标。