多层与时变网络的社团

多层模块度

当同一组节点之间有多种关系（多组学网络、多频段脑网络），或网络随时间变化（逐个时间窗估计的功能连接），可以把它们组织为多层网络：每层是一个网络，同一节点在不同层的副本之间用层间边相连。Mucha 等（2010）把模块度推广到多层网络： $$Q_{\text{ML}}=\frac{1}{2\mu}\sum_{ijsr}\left[\left(A_{ijs}-\gamma_s\frac{k_{is}k_{js}}{2m_s}\right)\delta_{sr}+\delta_{ij}\,C_{jsr}\right]\delta(g_{is},g_{jr}),$$ 其中 $A_{ijs}$ 是第 $s$ 层的邻接矩阵，$g_{is}$ 是节点 $i$ 在第 $s$ 层的社团标签，$C_{jsr}$ 是节点 $j$ 在层 $s$ 与 $r$ 之间的耦合强度（时变网络中通常只连相邻时间层，取常数 $\omega$），$2\mu$ 为所有层内边权与层间耦合的总和。$\gamma$ 控制每层内的分辨率，$\omega$ 控制层与层之间划分的一致程度：$\omega=0$ 时各层独立划分；$\omega\to\infty$ 时所有层被迫取相同划分。

实现上，可以把整个多层网络写成一个 $nT\times nT$ 的超模块度矩阵，用 Louvain 式的局部移动与聚合直接优化（如 GenLouvain）。动态脑网络中更多的实现细节与应用见动态功能连接与多层脑网络。

由时变划分派生的指标

• 灵活性（flexibility，Bassett 等 2011）：节点在相邻时间层之间改变社团归属的比例；
• 招募与整合系数：节点与同一先验系统（或不同系统）的节点被分到同一社团的频率；
• 社团的生存与演化：追踪社团在时间上的分裂、合并、生长、收缩、出现与消失。

在代码示例的人工时变网络中，8 个节点在第 4 个时间层“换队”。$\omega=1$ 时，它们的灵活性恰为 $1/5$（6 层中只换了一次），其余节点为 0；$\omega=0.05$ 时各层的社团标签在层间“乱跳”，灵活性被夸大；$\omega=20$ 时所有层被迫取同一划分，换队完全被掩盖。

社团演化的经验规律

Palla、Barabási 与 Vicsek（2007）在合作网络和通话网络中追踪团渗流社团的演化，识别出生长、收缩、合并、分裂、诞生和消亡六种基本事件。他们发现社团的年龄与规模正相关；大社团若能不断更新成员则存续更久，而小社团的存续依赖成员的稳定。Barabási《Network Science》第 9 章还总结了其他社会网络研究的规律：节点加入某社团的概率随它与该社团成员的连边数增加；与社团联系少的成员更容易离开。这些结论来自社会系统，在生物系统中社团如何演化（如发育、疾病进展中的模块重组）仍了解有限。