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度相关性与网络结构的高阶统计03 / 13

度相关系数 r

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定义

度相关系数（degree assortativity coefficient，Newman, 2002）：一条边两端节点度的 Pearson 相关系数，

r=∑jkjk(ejk−qjqk)σq2,σq2=∑kk2qk−(∑kkqk)2.r=\frac{\sum_{jk}jk\,(e_{jk}-q_jq_k)}{\sigma_q^2},\qquad \sigma_q^2=\sum_k k^2q_k-\Big(\sum_k k\,q_k\Big)^2 .

−1≤r≤1-1\le r\le1；r>0r>0 同配，r=0r=0 中性，r<0r<0 异配。

在边列表上直接计算更方便。设第 ii 条边两端的度为 ji,kij_i,k_i，共 LL 条边，

r=L−1∑ijiki−[L−1∑i12(ji+ki)]2L−1∑i12(ji2+ki2)−[L−1∑i12(ji+ki)]2.r=\frac{L^{-1}\sum_i j_ik_i-\big[L^{-1}\sum_i\tfrac12(j_i+k_i)\big]^2} {L^{-1}\sum_i\tfrac12(j_i^2+k_i^2)-\big[L^{-1}\sum_i\tfrac12(j_i+k_i)\big]^2}.

这等价于把每条无向边按两个方向各记一次，再算普通 Pearson 相关。用剩余度 k−1k-1 或度 kk 计算结果相同。

算例一（星形图）：中心度为 N−1N-1，叶子度为 1。每条边的有序对只有 (1,N−1)(1,N-1) 与 (N−1,1)(N-1,1) 两种，两者完全反向，r=−1r=-1。星形图是最极端的异配结构。

算例二（路径图 1−2−3−41-2-3-4）：三条边的六个有序对为 (1,2),(2,1),(2,2),(2,2),(2,1),(1,2)(1,2),(2,1),(2,2),(2,2),(2,1),(1,2)。xx 的均值 5/35/3，方差 3−25/9=2/93-25/9=2/9；xyxy 的均值 16/616/6，协方差 8/3−25/9=−1/98/3-25/9=-1/9；r=−0.5r=-0.5。

真实网络中的数值

Newman（2003, PRE）表 II 给出的部分数值：物理学合作网络 r=0.363r=0.363，电影演员合作网络 0.2080.208，公司董事网络 0.2760.276；酵母蛋白质相互作用网络 −0.156-0.156，大肠杆菌代谢网络 −0.240-0.240，线虫神经网络（有向）−0.226-0.226，互联网自治系统网络 −0.189-0.189。这一对照是“社会网络同配、生物与技术网络异配”这一说法的主要依据。Newman 与 Park（2003, PRE）提出，社会网络的同配性可以部分来自社团结构：人们分属大小不同的群体，大群体中的成员度高且彼此相连。代码示例“阈值化相关网络中的同配性”在模拟脑网络中重现了这一机制。

不确定性

rr 是从 LL 条边估计的统计量。Newman（2003）建议用刀切法（jackknife）估计标准误：依次删除每条边重算 rir_i，σr2=∑i(ri−r)2\sigma_r^2=\sum_i(r_i-r)^2。但这一误差只反映“边的抽样波动”，不反映网络构建本身的误差（假阳性相互作用、阈值选择等），也不能代替与零模型的比较。

局限

rr 不是一个与网络规模无关的“相关强度”。

  1. 线性假设：rr 相当于用直线拟合 knn(k)k_{nn}(k)，而理论与实证常给出幂律或对数形式。Barabási 书中第 7 章进阶专题 7.A 显示，在多个网络上线性拟合都很差；rr 与 μ\mu 的符号通常一致，大小却不能直接换算。
  2. 规模依赖：对重尾度分布的大网络，即使把网络重连到“最大异配”，rr 的绝对值也随 NN 增大而趋近 0。Litvak 与 van der Hofstad（2013, PRE）从数学上解释了这一现象，并建议改用 Spearman 秩相关等秩统计量，它们在不同规模的同类网络之间更可比。
  3. 被极少数枢纽主导：rr 的分母与分子都含 ∑k2qk\sum k^2q_k 这类高阶矩，删去一两个枢纽可能显著改变 rr。
  4. 可达范围受度序列约束：给定度序列下 rr 的最小值与最大值通常不是 −1-1 与 11。比较两个网络的 rr 时，应同时报告各自度序列下的可达范围或零模型分布。

类别同配与有向同配

Newman（2003）把同一思想推广到离散属性：若 eije_{ij} 为一条边连接类型 ii 与类型 jj 节点的比例，ai=∑jeija_i=\sum_j e_{ij}、bj=∑ieijb_j=\sum_i e_{ij}，则

r=∑ieii−∑iaibi1−∑iaibi.r=\frac{\sum_i e_{ii}-\sum_i a_ib_i}{1-\sum_i a_ib_i}.

这可以用于检验“同一功能模块的蛋白是否更倾向于相互作用”“同一功能系统的脑区是否更倾向于相连”，与模块度的期望项形式相同（见社团结构与社区发现）。有向网络中可以定义四个系数 rout,inr_{\text{out,in}}、rin,outr_{\text{in,out}}、rout,outr_{\text{out,out}}、rin,inr_{\text{in,in}}（Foster 等, 2010）；Piraveenan 等（2012, IEEE/ACM TCBB）讨论了有向生物网络中这些系数的计算与解读。

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