度保持随机化检验

两种随机化

度相关的检验问题是：观测到的 $k_{nn}(k)$ 或 $r$ 是否超出了“同一度序列的随机网络”能产生的范围。Barabási 书第 7 章区分两种保度随机化：

• R-S（保持简单图）：双边交换时拒绝产生重边或自环的交换。若观测的 $k_{nn}(k)$ 与 R-S 随机网络的 $k_{nn}^{R\text{-}S}(k)$ 无法区分，观测到的相关完全是结构性的；
• R-M（允许重边）：接受所有交换。它总是给出中性网络（水平的 $k_{nn}$），主要用作自洽检查。

真正有信息的是观测值与 R-S 的比较。按这一方法，第 7 章的十个参考网络中：社会网络（合作网络、演员网络、手机通话网络）的同配性不能被度分布解释；蛋白质相互作用网络与代谢网络的 $k_{nn}(k)$ 与 R-S 版本几乎重合，即它们的异配主要是结构性的；万维网的异配只能被度分布部分解释。需要注意，这些结论依赖于具体的数据版本（书中使用的是早期酵母相互作用图谱）。

Maslov–Sneppen 的相关剖面

Maslov 与 Sneppen（2002）不压缩为单个数，而是对每一对度 $(k_0,k_1)$ 比较观测的联合分布 $P(k_0,k_1)$ 与保度随机网络的均值 $P_r(k_0,k_1)$，画出比值 $P/P_r$ 及其 $z$ 分数的二维图（相关剖面，correlation profile）。他们在酵母蛋白质相互作用网络和转录调控网络中都发现：高度节点之间的连接被系统性压低，高度与低度节点之间的连接被增强。这种二维剖面比 $r$ 保留了更多信息，可以看出相关集中在哪个度区间。

实施要点

1. 随机化次数与混合：每个随机网络的交换次数通常取边数的 10–100 倍；可以检查 $r$ 随交换次数的变化是否已平稳。
2. “合并重边”不是均匀抽样：先用配置模型生成多重图、再合并重边与删自环（erased configuration model），得到的网络与“给定度序列的均匀随机简单图”不是同一分布，重尾时差别明显（Fosdick 等, 2018, SIAM Review）。代码示例中同一度序列的 erased 配置模型 $r\approx-0.07$，充分交换后的保度随机网络 $r\approx-0.11$。
3. 报告方式：给出观测值、零分布均值与标准差、$z$ 分数和经验 $p$ 值 $\hat p=(1+\#\{r_m\le r_{\text{obs}}\})/(M+1)$。
4. 零模型保留什么：保度随机化保留度序列但打乱了模块、空间位置与聚集。若网络有强模块或空间嵌入，相关性的差异可能来自这些被打乱的结构，而不是“度对度的偏好”（见零模型与空模型）。