邻居平均度函数与相关指数

定义

中性情形的推导只需一行：$P(k'\mid k)=q_{k'}=k'p_{k'}/\langle k\rangle$，代入得 $\sum_{k'}k'^2p_{k'}/\langle k\rangle$。路径图的例子中，$k_{nn}(1)=2$，$k_{nn}(2)=(1+2)/2=1.5$，中性预期为 $\langle k^2\rangle/\langle k\rangle=2.5/1.5\approx1.67$：度 1 节点的邻居度高于基线，度 2 节点的邻居度低于基线，$k_{nn}(k)$ 下降，与上节结论一致。

相关指数 $\mu$

Pastor-Satorras 等（2001）观察到互联网的 $k_{nn}(k)$ 在双对数坐标下近似为直线，于是常用幂律近似

$$k_{nn}(k)\approx a\,k^{\mu},$$

$\mu>0$ 同配，$\mu=0$ 中性，$\mu<0$ 异配。Barabási《Network Science》第 7 章对十个参考网络做了拟合：科学合作网络 $\mu>0$，电网与零几乎无差别，大肠杆菌代谢网络 $\mu$ 明显为负。若干模型给出幂律形式的理论支持：隐变量模型在禁止重边时得到 $k_{nn}(k)\sim k^{-1}$；初始吸引力增长模型在度指数 $\gamma<3$ 时得到幂律衰减的 $k_{nn}(k)$，在 BA 极限（$\gamma=3$）为中性，在 $\gamma>3$ 时 $k_{nn}$ 随 $\ln k$ 缓慢上升（Barrat & Pastor-Satorras, 2005, PRE）。

估计时的实际问题

• 对数分箱：高 $k$ 处每个度值只有一两个节点，线性分箱的 $k_{nn}(k)$ 噪声极大，应在对数间隔的度区间内平均。
• 拟合区间：$\mu$ 依赖拟合区间，高 $k$ 端常因结构截断而弯曲，应报告拟合区间并画出整条曲线。
• 加权网络：Barrat 等（2004, PNAS）定义加权邻居平均度 $k^w_{nn,i}=\frac{1}{s_i}\sum_j w_{ij}k_j$（$s_i$ 为节点强度）。若 $k^w_{nn,i}>k_{nn,i}$，说明权重大的边偏向连接高度节点。
• 有向网络：每个节点有入度与出度，需要分别计算四种组合 $k_{nn}^{\alpha\beta}(k)$，$\alpha,\beta\in\{\text{in},\text{out}\}$（Foster 等, 2010, PNAS）。转录调控网络中“转录因子的出度”与“靶基因的入度”的组合，与无向化后的结果可能完全不同。

代码示例“三类网络对照”从同一个 BA 度序列出发，重连出同配版和异配版，分别拟合 $\mu$，并与 $r$、Spearman 秩相关对照。