度相关对网络过程的影响

度相关改变的不只是一个描述性数字，它会改变发生在网络上的过程。下面的结论多来自模型网络，在真实生物网络中往往与模块、空间约束等因素同时存在。

巨连通分支与鲁棒性

Newman（2002）求解了具有给定 $e_{jk}$ 的随机网络的渗流问题：巨分支在矩阵 $m_{jk}=k\,e_{jk}/q_j$（以剩余度为下标）的最大特征值达到 1 时出现。无相关时 $m$ 是秩 1 矩阵，条件退化为熟悉的 Molloy–Reed 判据 $\langle k^2\rangle/\langle k\rangle=2$。结论是：

• 同配网络更早形成巨分支（高度节点相互连接，在稀疏时就能连成一片），对删除高度节点也更稳健（枢纽彼此冗余）；
• 但在边较多时，同配网络的巨分支反而更小，因为大量低度节点只与低度节点相连，未被枢纽“收编”；
• 异配网络在删除枢纽时更脆弱：每个枢纽带走一批只连向它的低度节点。Vázquez 与 Moreno（2003, PRE）给出了相关网络上点渗流与键渗流阈值的一般表达式。

代码示例“度相关如何改变……”中，同一张 ER 图（$N=2000$，$\langle k\rangle=4$）重连后，保留 30% 的边时同配版巨分支占 0.34、异配版 0.26；保留 90% 时顺序反过来（0.964 对 0.973）。网络在蓄意攻击下的崩解见网络鲁棒性、渗流与级联失效。

流行病传播

异质平均场 SIS 模型中，度为 $k$ 的节点感染比例 $\rho_k$ 满足

$$\frac{d\rho_k}{dt}=-\rho_k+\lambda k(1-\rho_k)\sum_{k'}P(k'\mid k)\rho_{k'} .$$

在无病态附近线性化，传播阈值由矩阵 $C_{kk'}=k\,P(k'\mid k)$ 的最大特征值 $\Lambda_m$ 决定：$\lambda_c=1/\Lambda_m$（Boguñá & Pastor-Satorras, 2002, PRE）。无相关时 $\Lambda_m=\langle k^2\rangle/\langle k\rangle$，回到度异质性与流行病阈值中的结果。几个要点：

• 同配性使高度节点形成相互感染的“储库”，通常降低阈值、使疾病在整体稀疏时也能持续；但由于传播主要局限在这个高度节点核心内，最终波及的范围可能更小（Newman, 2002）；
• Boguñá、Pastor-Satorras 与 Vespignani（2003, PRL）证明：只要度分布的二阶矩发散，无论同配还是异配，无标度网络的传播阈值都趋于 0；其原因是细致平衡强制 $\sum_k k\,p_k\,k_{nn}(k)=\langle k^2\rangle$（推导见数学推导与算法）；
• 在有限网络上，淬火平均场阈值约为 $1/\lambda_1$（$\lambda_1$ 为邻接矩阵最大特征值）。代码示例中，同配重连使 $\lambda_1$ 从 5.23 升到 5.93，异配重连降到 4.92。

同步

可同步性常用拉普拉斯矩阵特征值比 $\lambda_N/\lambda_2$ 衡量（越小越容易同步，见拉普拉斯谱与可同步性）。同配使高度节点聚成核心、低度节点形成长链，$\lambda_2$ 变小，可同步性变差；di Bernardo、Garofalo 与 Sorrentino（2007, IJBC）系统研究了度相关对振子网络同步的影响。代码示例中三张度序列相同的网络，$\lambda_N/\lambda_2$ 依次为 173（同配）、94（原始）、59（异配）。同配网络的平均路径长度略短而直径更长，也与这一图景一致（Barabási 书第 7.7 节）。

可控性

结构可控性中驱动节点数由最大匹配决定（见结构可控性与最大匹配）。Pósfai 等（2013, Scientific Reports）发现，聚集与模块性对驱动节点数没有明显影响，而度相关的作用取决于是哪一种有向相关（入-入、出-出、出-入等）：驱动节点数可以随相关系数线性变化、二次变化或不变。因此在比较两张调控网络的驱动节点比例时，应检查它们的有向度相关是否不同。