聚集谱 C(k) 与层次模块性

三点相关

$k_{nn}(k)$ 是两点相关。更高一阶的统计是：度为 $k$ 的节点的两个邻居之间是否相连。聚集谱（clustering spectrum）$C(k)$ 是度为 $k$ 的节点局部聚集系数的平均。它对应条件概率 $P(k^{(1)},k^{(2)}\mid k)$ 与“两个邻居相连”的概率，是三点相关的一个压缩。对无相关的稀疏随机网络，$C(k)$ 与 $k$ 无关，近似为 $(\langle k^2\rangle-\langle k\rangle)^2/(\langle k\rangle^3N)$。

层次模块网络

Ravasz 等（2002, Science）分析了 43 种生物的代谢网络，发现它们由许多小而紧密的模块逐级组合成更大、更松散的单元，聚集系数随度按幂律下降；在大肠杆菌中，这种层次模块与已知代谢功能有较好的对应。Ravasz 与 Barabási（2003, PRE）用一个确定性的层次模型说明这一结构：从 5 个节点的完全图出发，每一步复制 4 份，把副本的最外围节点连到原始中心节点。这样生成的网络同时具有：

• 无标度度分布；
• 与网络规模无关的高平均聚集系数；
• $C(k)\sim k^{-1}$：低度节点处在小而紧密的模块内，邻居彼此相连；枢纽连接许多彼此不相连的模块。

BA 模型与 ER 模型的 $C(k)$ 都近似与 $k$ 无关，因此 $C(k)$ 的负斜率被用作层次模块性的一个信号。代码示例“聚集谱”中，3 层迭代的层次网络（625 个节点）平均聚集系数 0.82，$\log C(k)$ 对 $\log k$ 的斜率约 $-1.1$；同规模 BA 网络斜率约 $-0.1$。

解读时的注意点