加权网络的指标

生物医学网络大多带权：功能连接的相关系数、纤维束的条数或各向异性分数、共表达强度、STRING 的置信分数。二值化会丢失信息，并引入阈值选择问题；直接在加权网络上定义指标是另一条路线。

强度与强度–度关系

若边权与端点度无关，则 $\langle s\,|\,k\rangle\approx\langle w\rangle k$。Barrat 等（2004）在若干真实网络中观察到 $s(k)\sim k^{\beta}$，$\beta>1$ 表示高度节点的边也更“重”。空手道网络中度与强度的相关系数约 0.98，强度排序与度排序的前五名完全相同；但在功能连接这类几乎全连通的加权网络中，度失去意义，强度成为主要的“度”类指标。

加权聚集系数

把三角形的“强弱”计入聚集系数有多种方式，常用两种：

$$C_i^{\text{O}}=\frac{1}{k_i(k_i-1)}\sum_{j\ne h}\left(\hat w_{ij}\hat w_{ih}\hat w_{jh}\right)^{1/3},\qquad C_i^{\text{B}}=\frac{1}{s_i(k_i-1)}\sum_{j\ne h}\frac{w_{ij}+w_{ih}}{2}\,a_{ij}a_{ih}a_{jh},$$

求和遍历 $i$ 的有序邻居对。$C^{\text{O}}$ 由 Onnela 等（2005）提出，$\hat w=w/\max w$，用三角形三条边权重的几何平均衡量“三角形强度”，是 NetworkX 与 BCT（clustering_coef_wu）的默认加权定义；$C^{\text{B}}$ 由 Barrat 等（2004）提出，只看 $i$ 自己的两条边，衡量“$i$ 的强连接是否落在三角形里”。所有权重相等时，两者都退化为无权 $C_i$。

两者回答不同的问题，数值可能朝相反方向偏离无权值。Onnela 定义对最大权重敏感：加入一条极端大的边会压低所有节点的 $C^{\text{O}}$。

加权路径：先把权重变成长度

最短路径算法把边属性当作长度（越大越远），而多数生物医学网络的权重是强度（越大越近）。必须先转换：$\ell_{ij}=1/w_{ij}$、$\ell_{ij}=-\log w_{ij}$（$w\in(0,1]$，如概率或置信度，路径长度对应概率乘积的负对数）或 $\ell_{ij}=1-w_{ij}$。转换方式没有唯一正确答案，结果会随之变化，应作为敏感性分析的一部分。代码示例中，空手道网络节点 0 到 33 的正确最短路径（$\ell=1/w$）经过强度为 5、5、4 的三条边；若误把强度当长度，算法会选择强度为 2、1 的两条最弱的边。

Opsahl 等（2010）用一个参数 $\alpha$ 在“只看边数”和“只看权重”之间插值：广义度 $k_i^{1-\alpha}s_i^{\alpha}$，广义长度 $\ell_{ij}=w_{ij}^{-\alpha}$。$\alpha=0$ 回到无权指标，$\alpha=1$ 为纯加权指标。