全局效率与局部效率

定义

Latora 与 Marchiori（2001）把“效率”定义为距离的倒数：两点越近，交换信息越“高效”；不可达时效率为 0。

与 $L$ 和 $C$ 的关系

• $E_{\text{glob}}$ 是距离的调和平均的倒数，$L$ 是距离的算术平均。由于调和平均不大于算术平均，连通网络中 $E_{\text{glob}}\ge 1/L$，二者只在所有距离相等时相同。算例：路径图 1–2–3–4 的 $L=1.67$，$1/L=0.60$，而 $E_{\text{glob}}=(3\cdot1+2\cdot\tfrac12+\tfrac13)/6\approx0.72$。
• $E_{\text{loc}}(i)$ 回答“去掉 $i$ 之后，它的邻居之间还能多容易地互相到达”，可看作局部容错能力。若邻居子图中只有直接相连和不可达两种情况，$E_{\text{loc}}(i)=C_i$；邻居之间存在 2 步、3 步路径时，$E_{\text{loc}}(i)>C_i$。空手道网络中 $E_{\text{loc}}\approx0.65$，略高于 $C\approx0.57$。
• Latora 与 Marchiori 据此把小世界性重新表述为“全局效率与局部效率都高”，这一表述不依赖网络连通，也可直接用于加权网络。

加权与适用条件

加权网络中把 $d_{ij}$ 换成加权最短路径长度即可（BCT 的 efficiency_wei）。加权局部效率有多种推广方式（例如三角形各边权重如何组合），不同软件、甚至同一软件的不同版本给出的数值可能不同，报告时应注明所用定义、软件与版本。