谱类中心性：特征向量、Katz、PageRank 与 HITS

度中心性只数一步邻居。一个自然的推广是：被重要节点连接的节点更重要。这一递归思想把中心性写成邻接矩阵的特征向量或线性方程的解，统称谱类中心性。它们的共同数学基础是：$(A^t)_{ij}$ 计数长度为 $t$ 的途径，各种谱类中心性就是对不同长度的途径按不同方式加权求和。

特征向量中心性

对连通无向网络，Perron–Frobenius 定理保证 $\lambda_1$ 是单重的、对应特征向量所有分量为正，因此排名唯一。从任意正初值出发做幂迭代 $\mathbf x\leftarrow A\mathbf x/\|A\mathbf x\|$，结果收敛到 $\mathbf x$，这说明特征向量中心性就是“很长的途径从哪里出发最多”。收敛速度由 $|\lambda_2/\lambda_1|$ 决定。

算例：星形图（中心 + 4 叶）的 $\lambda_1=\sqrt4=2$；设叶子得分为 $x$、中心为 $y$，则 $2y=4x$、$2x=y$，中心与叶子之比为 $\sqrt{N-1}=2$。

两个局限：(1) 有向网络中，只有能被强连通核心“到达”的节点得分为正，没有入边或只位于无环部分的节点得分为 0（代码示例中，不在环上的 3 个节点得分全为 0）；(2) 在含有极大枢纽的网络中，特征向量可能局域化在枢纽及其邻居上，其他节点得分几乎为 0、无法区分（Martin、Zhang 与 Newman 2014）。

Katz 中心性

Katz（1953）给每个节点一个“免费”的基础得分 $\beta$，并让长途径的贡献按 $\alpha$ 衰减：

$$x_i=\alpha\sum_jA_{ji}x_j+\beta \quad\Longrightarrow\quad \mathbf x=\beta\,(I-\alpha A^{\top})^{-1}\mathbf 1=\beta\sum_{t=0}^{\infty}\alpha^t(A^{\top})^t\mathbf 1 .$$

级数收敛要求 $0<\alpha<1/\lambda_1$。$\alpha\to0$ 时排序趋于（入）度，$\alpha\to1/\lambda_1$ 时趋于特征向量中心性，因此 Katz 中心性是二者之间的连续插值，并解决了有向无环部分得分为 0 的问题。$\alpha$ 的选择会改变排序，常取 $1/\lambda_1$ 的某个比例并报告敏感性。

PageRank

Katz 中心性中，一个出度很大的节点会把它的“全部”得分传给每个邻居。PageRank（Brin 与 Page 1998）让每个节点把得分按出度平分给邻居，并以概率 $1-d$ 随机跳转到任意节点：

$$x_i=d\sum_j\frac{A_{ji}}{k_j^{\text{out}}}x_j+\frac{1-d}{N}.$$

它就是“随机冲浪者”马尔可夫链的平稳分布：以概率 $d$（阻尼因子，常取 0.85）沿随机一条出边走，以概率 $1-d$ 随机跳到任意节点。随机跳转保证了链的不可约与非周期，平稳分布唯一。出度为 0 的“悬挂节点”需要特殊处理，通常让它以均匀概率跳转。

HITS：枢纽值与权威值

在有向网络中，“指向很多重要节点”和“被很多重要节点指向”是两种不同的重要性。Kleinberg（1999）的 HITS 算法为每个节点定义两个得分：权威值（authority）$a_i$ 是指向它的枢纽值之和，枢纽值（hub score）$h_i$ 是它指向的权威值之和：

$$\mathbf a=A^{\top}\mathbf h,\quad \mathbf h=A\mathbf a \quad\Longrightarrow\quad A^{\top}A\,\mathbf a=\lambda\mathbf a,\quad AA^{\top}\mathbf h=\lambda\mathbf h .$$

$A^{\top}A$ 的元素是两个节点共同的“上游”数（共引），$AA^{\top}$ 是共同的“下游”数（共被引）。在转录调控网络中，调控大量重要靶基因的转录因子枢纽值高，被多个关键转录因子共同调控的基因权威值高。

子图中心性

Estrada 与 Rodríguez-Velázquez（2005）的子图中心性 $SC_i=(e^{A})_{ii}=\sum_t (A^t)_{ii}/t!$ 计数从 $i$ 出发又回到 $i$ 的闭合途径，长度为 $t$ 的途径以 $1/t!$ 加权。它衡量节点参与局部稠密子结构（三角形、小团）的程度，BCT 中为 subgraph_centrality。