鲁棒性度量：R 指标与功能性指标

单个阈值 $f_c$ 只描述“网络何时完全碎裂”，忽略了崩溃之前的损伤程度。两个网络可能有相同的 $f_c$ ，但其中一个在删去 5% 的节点后就失去一半节点的连通。

R 指标（Schneider 等 2011，PNAS）：按自适应度攻击逐个删除节点，记 $s(Q)$ 为删去 $Q$ 个节点后最大连通分支的节点比例， $R=\frac{1}{N}\sum_{Q=1}^{N}s(Q).$ $R$ 即攻击曲线下的面积，取值约在 $1/N$ （星形网络）到 $1/2$ （完全图）之间，可以比较不同规模的网络。对随机失效或其他攻击策略同样可以定义类似的曲线下面积。

手算例： $N=5$ 的星形网络，第一步删掉中心，此后每个剩余节点都孤立： $s(1)=\dots=s(4)=1/5$ ， $s(5)=0$ ， $R=4/25=0.16$ 。 $N=5$ 的路径 0–1–2–3–4，按介数先删中点 2，剩下两段长度为 2 的路径： $s(1)=2/5$ ；再删 1 得 $s(2)=2/5$ ；随后 $s(3)=s(4)=1/5$ ， $s(5)=0$ ， $R=6/25=0.24$ 。路径比星形“更鲁棒”，因为它没有单点故障。

其他常用指标：

指标	定义	适用场景
$P_\infty(f)$ 曲线与 $f_c$	最大分支比例随删除比例的变化	渗流意义上的整体连通
全局效率 $E=\frac{1}{N(N-1)}\sum_{i\ne j}1/d_{ij}$	删除后效率下降比例	不连通网络也有定义；脑网络常用
平均路径长度、直径	Albert 等（2000）使用	只在连通分支内定义
第二大分支、团簇大小分布	临界点附近达到峰值	判定 $f_c$
功能指标	代谢网络的生物量合成、信号网络的输入–输出可达性	生物医学问题首选

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