阈值级联与分支过程

Watts 阈值模型

在负载模型之外，另一类级联由局部阈值规则驱动（Watts 2002，PNAS）：每个节点有阈值 $\varphi$，当失效（或被“激活”）邻居的比例 $\ge\varphi$ 时它也失效。这与信息与行为的传播中的复杂传染是同一模型，在这里把“采纳”理解为“失效”。

度 $k\le1/\varphi$ 的节点只需一个失效邻居就会失效，称为易损节点。全局级联可以发生，当且仅当易损节点在网络中形成渗流团簇。用生成函数可得到条件

$$\sum_k k(k-1)\,\rho_k\,P(k)>\langle k\rangle,$$

其中 $\rho_k$ 是度为 $k$ 的节点是易损节点的概率（阈值相同时 $\rho_k=1$ 当 $k\le\lfloor1/\varphi\rfloor$）。这给出了在 $(\langle k\rangle,\varphi)$ 平面上的级联窗口：$\langle k\rangle$ 太小时网络本身不连通，级联无法扩散；$\langle k\rangle$ 太大时每个节点的邻居太多，一个失效邻居不足以越过阈值，易损节点稀少。在窗口的上边界附近，级联很少发生，一旦发生却往往是全局性的——“稳定的”系统反而可能突然整体崩溃。

分支过程

更抽象的描述把级联看作分支过程：初始失效节点是树根，它引起的每一次失效是一个“后代”，每个后代再独立地产生后代，后代数服从分布 $\{p_k\}$，生成函数 $g(x)=\sum_kp_kx^k$，平均后代数 $m=g'(1)$。

• $m<1$（亚临界）：级联必然熄灭，规模分布呈指数衰减；
• $m>1$（超临界）：级联以正概率无限增长，熄灭概率 $q$ 是 $q=g(q)$ 在 $[0,1)$ 内的解；
• $m=1$（临界）：规模分布为幂律 $P(s)\sim s^{-\alpha}$。

算例：$p_0=1/4,p_1=1/4,p_2=1/2$，$m=1.25$。解 $q=\tfrac14+\tfrac14q+\tfrac12q^2$，即 $2q^2-3q+1=0$，得 $q=1/2$（另一根 $q=1$ 舍去）：一半的初始故障会自行熄灭，另一半会发展为全局级联。

临界分支过程可以映射为一维随机游走的首次返回问题：当前“活跃”节点数 $x$ 每步加一或减一，雪崩规模就是从 $x=1$ 首次到达 $x=0$ 的时间，其分布指数为 $3/2$。若后代分布本身是幂律 $p_k\sim k^{-\gamma}$，则

$$\alpha=\begin{cases}\gamma/(\gamma-1),&2<\gamma<3\\ 3/2,&\gamma\ge3\end{cases}$$

（Goh 等 2003，PRL 关于无标度网络上沙堆模型的结果与此一致）。Barabási 第 8 章汇总的经验雪崩指数（各国电网停电规模、转发级联、地震）多在 1.6–2.0 之间，落在这一预测范围内。