蓄意攻击：按度、介数与自适应攻击

攻击阈值

蓄意攻击按某种重要性从高到低删除节点。按度攻击同时改变两件事（Cohen、Erez、ben-Avraham 与 Havlin 2001，PRL）：最大度从 $k_{\max}$ 降到 $k'_{\max}$；剩余节点因失去连向枢纽的边而度数下降。对无度相关网络，删去比例 $f$ 的枢纽后，被删掉的边占全部边的比例 $\tilde f=f^{(2-\gamma)/(1-\gamma)}$，剩余网络相当于“截断到 $k'_{\max}=k_{\min}f^{1/(1-\gamma)}$ 的幂律网络再随机删去比例 $\tilde f$ 的边”。代入 Molloy–Reed 判据，得到攻击阈值满足

$$f_c^{\frac{2-\gamma}{1-\gamma}}=2+\frac{2-\gamma}{3-\gamma}\,k_{\min}\left(f_c^{\frac{3-\gamma}{1-\gamma}}-1\right).$$

数值解表明：攻击阈值只有百分之几到二十几；攻击阈值总小于随机失效阈值；它随 $\gamma$ 非单调变化。按本页代码中的连续度近似，$k_{\min}=1$ 时攻击阈值约在 $\gamma\approx2.3$ 取极大值 0.06 左右。$\gamma\to2$ 时 $\tilde f\to1$：删掉极少数枢纽就带走几乎全部边。$\gamma\to\infty$ 时所有节点度相同，攻击与随机失效不再有区别，$f_c\to1-1/(k_{\min}-1)$。

Albert、Jeong 与 Barabási（2000，Nature）首先用模拟展示了这一“阿喀琉斯之踵”：无标度网络在随机失效下直径几乎不变，在攻击下迅速增大并碎裂（论文精读）。同一个 $\langle k^2\rangle$ 既带来对随机失效的鲁棒，也带来对攻击的脆弱。

攻击者知道得越多，网络瓦解得越快

Holme、Kim、Yoon 与 Han（2002，Physical Review E）比较了四种删点策略：按初始度（ID）、按初始介数（IB）、每删一个节点后重新计算度（RD）、重新计算介数（RB）。结论是：自适应策略（RD、RB）通常比按初始排序更具破坏性，因为删掉枢纽后网络结构变了，原来的“第二重要”节点不一定仍然重要。直观上，介数攻击针对的是承担大量最短路径的“桥”，在社团之间只靠少数节点连接的网络中，它可能比按度攻击更快地切断网络。

更进一步，网络瓦解（dismantling）问题要求找到最小的节点集合，使删除后最大分支不超过给定规模。这是 NP 难问题，近年的近似方法包括：Morone 与 Makse（2015，Nature）的集体影响力（collective influence），把它表述为“最优渗流”，节点 $i$ 的得分为 $\mathrm{CI}_\ell(i)=(k_i-1)\sum_{j\in\partial B(i,\ell)}(k_j-1)$，即自身剩余度乘以距离恰为 $\ell$ 的节点的剩余度之和；Braunstein 等（2016，PNAS）的“先拆环（decycling）再拆树”的消息传递算法。它们都比按度攻击更高效，其核心洞见是：瓦解网络的关键不只是枢纽，而是那些破坏环结构、切断社团之间联系的节点。