相互依存网络与多层网络的渗流

现代系统往往由多个相互依赖的网络组成：电站依赖通信网络控制，通信节点依赖电站供电。Buldyrev、Parshani、Paul、Stanley 与 Havlin（2010，Nature）提出了相互依存网络模型（论文精读）。

设初始随机保留比例 $p$ 的 A 节点，$g_A(\cdot)$、$g_B(\cdot)$ 为单网络中“随机保留某比例时巨分支占保留节点的比例”。级联稳态满足 $x=p\,g_A(y)$，$y=p\,g_B(x)$。对两个平均度均为 $\langle k\rangle$ 的 ER 网络，相互连通巨分支比例 $\mu$ 满足

$$\mu=p\,\big(1-e^{-\langle k\rangle\mu}\big)^2 .$$

令 $z=\langle k\rangle\mu$，则 $\langle k\rangle p=z/(1-e^{-z})^2$；非零解存在的最小 $p$ 由右边的极小值给出：$p_c=2.4554/\langle k\rangle$，此时 $\mu$ 不是从零连续增长，而是从 $1.2564/\langle k\rangle$ 直接跳到零。

由此得到三条与单一网络相反的结论：

1. 一级（不连续）相变：崩溃是突发的，接近阈值时几乎没有“渐进损伤”的预警；
2. 阈值大幅提高：$\langle k\rangle=4$ 时单个 ER 网络的 $p_c=0.25$，相互依存后变为约 0.61；
3. 宽度分布反而更脆弱：平均度相同时，度分布越宽，相互依存系统越容易崩溃——单一网络中耐随机失效的无标度结构，在相互依存时不再有优势。

后续工作给出了更一般的图景：Parshani、Buldyrev 与 Havlin（2010，PRL）表明只有一部分节点相互依赖时，降低耦合强度可使相变从一级变为二级；Gao 等（2012，Nature Physics）把理论推广到“网络的网络”；Bashan 等（2013，Nature Physics）发现空间嵌入的相互依存网络极端脆弱，任意小比例的依赖都可能导致突变式崩溃。多路网络（同一组节点上多种关系）的渗流还区分“任一层连通”与“各层同时连通”两种定义，结论差别很大（多层网络的一般框架见 Kivelä 等 2014，以及动态功能连接与多层脑网络）。