多层与相互依赖网络

统一框架

当同一组实体之间存在多种关系（PPI、共表达、遗传相互作用），或多组实体之间存在跨类型的关系（基因–蛋白–代谢物–疾病），或网络随时间改变时，可以把它们放在一个多层网络中。Kivelä 等（2014）给出了统一的数学框架和术语；De Domenico 等（2013）用张量形式化；Boccaletti 等（2014）综述了结构与动力学；Bianconi 的专著《Multilayer Networks》（2018）系统讲解了多层网络的结构、渗流与扩散理论。

多重网络的结构指标

• 边重叠：两层共享的边比例，衡量两种关系是否冗余；
• 节点在各层的度向量 $(k_i^{[1]},\dots,k_i^{[L]})$ 与多重参与系数（Battiston、Nicosia 与 Latora，2014）：

$$P_i=\frac{L}{L-1}\Big[1-\sum_{\alpha=1}^{L}\Big(\frac{k_i^{[\alpha]}}{o_i}\Big)^2\Big],\qquad o_i=\sum_\alpha k_i^{[\alpha]},$$

$P_i$ 接近 1 表示节点的连接均匀分布在各层，接近 0 表示集中于某一层。 - 多层模块度：Mucha 等（2010）的推广，层间耦合 $\omega$ 控制各层划分的一致性，详见多层网络。

多层网络上的扩散

两层多重网络、层间扩散系数为 $D_x$ 时，超拉普拉斯矩阵为

$$\mathcal{L}=\begin{pmatrix}L^{[1]}+D_xI & -D_xI\\ -D_xI & L^{[2]}+D_xI\end{pmatrix}.$$

扩散趋于平衡的时间尺度由其第二小特征值 $\lambda_2(\mathcal{L})$ 决定。Gómez 等（2013）指出两个极限：

• $D_x$ 很小时，$\lambda_2\approx 2D_x$：慢模式是两层之间的整体交换。向量 $x=(\mathbf{1},-\mathbf{1})$ 恰好是特征值为 $2D_x$ 的特征向量（推导见数学推导与算法）。
• $D_x$ 很大时，$\lambda_2(\mathcal{L})\to\lambda_2\big((L^{[1]}+L^{[2]})/2\big)$，可以大于任一单层的 $\lambda_2$，即多层上的扩散比在任一单层上都快（超扩散）。

代码示例在一个 ER 层与一个小世界层组成的多重网络上画出 $\lambda_2$ 随 $D_x$ 的变化。

相互依赖网络与级联失效

Buldyrev 等（2010）研究两个相互依赖的网络：A 层节点失效使其依赖的 B 层节点失效，B 层失效又反过来影响 A 层，如此迭代。与单个网络的连续渗流转变不同，相互依赖网络的崩溃是不连续的一阶转变——移除节点的比例稍过临界点，巨连通分支就突然消失；而且在单层网络中能提高抗随机失效能力的宽度分布，在相互依赖时反而让系统更脆弱。这一框架常被用来讨论电网–通信网、器官系统之间的依赖（论文精读见 Buldyrev 2010；渗流理论见网络鲁棒性、渗流与级联失效）。