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Example06 / 15

中心性家族在同一网络上的比较

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网络结构指标与随机图
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在空手道网络（无权）上计算 8 种中心性：度、接近、调和接近、介数、特征向量、Katz、PageRank、k 核数， 列出各指标排名前 5 的节点，并计算它们两两之间的 Spearman 秩相关。 先用两个可手算的小图核对定义：星形图中心的归一化介数为 1；路径图 1-2-3-4-5 中节点 3 的介数为 4。 输出：多数指标都把节点 0、33 排在前列，但第 3–5 名各不相同（k 核数有大量并列，前 5 名只是并列者之一）； 与度的秩相关在 0.78–0.98 之间，说明各指标高度相关却不可互换，选哪一个取决于研究问题。

Output输出图

中心性家族在同一网络上的比较：输出图 1

Output文字输出

星形图中心介数（归一化）= 1.0 ；叶子接近中心性 = 0.571（手算 4/7=0.571）
路径图未归一化介数: {1: 0.0, 2: 3.0, 3: 4.0, 4: 3.0, 5: 0.0}
最大特征值 λ1 = 6.726，Katz 取 α = 0.5/λ1 = 0.0743
degree       前 5: [33, 0, 32, 2, 1]
closeness    前 5: [0, 2, 33, 31, 8]
harmonic     前 5: [33, 0, 2, 32, 31]
betweenness  前 5: [0, 33, 32, 2, 31]
eigenvector  前 5: [33, 0, 2, 32, 1]
katz         前 5: [33, 0, 32, 2, 1]
pagerank     前 5: [33, 0, 32, 2, 1]
k-core       前 5: [0, 1, 2, 3, 7]

与度中心性的 Spearman 秩相关：
  degree       1.00
  closeness    0.89
  harmonic     0.87
  betweenness  0.90
  eigenvector  0.78
  katz         0.93
  pagerank     0.98
  k-core       0.93

Code代码

# 在空手道网络（无权）上计算 8 种中心性：度、接近、调和接近、介数、特征向量、Katz、PageRank、k 核数，
# 列出各指标排名前 5 的节点，并计算它们两两之间的 Spearman 秩相关。
# 先用两个可手算的小图核对定义：星形图中心的归一化介数为 1；路径图 1-2-3-4-5 中节点 3 的介数为 4。
# 输出：多数指标都把节点 0、33 排在前列，但第 3–5 名各不相同（k 核数有大量并列，前 5 名只是并列者之一）；
#       与度的秩相关在 0.78–0.98 之间，说明各指标高度相关却不可互换，选哪一个取决于研究问题。
import networkx as nx
import numpy as np
from scipy.stats import spearmanr

star = nx.star_graph(4)                     # 中心 0 + 4 个叶子
path = nx.path_graph([1, 2, 3, 4, 5])
print("星形图中心介数（归一化）=", nx.betweenness_centrality(star)[0],
      "；叶子接近中心性 = %.3f（手算 4/7=%.3f）" % (nx.closeness_centrality(star)[1], 4 / 7))
print("路径图未归一化介数:", nx.betweenness_centrality(path, normalized=False))

G = nx.karate_club_graph()
lam1 = max(np.linalg.eigvalsh(nx.to_numpy_array(G, weight=None)))
C = {
    "degree": nx.degree_centrality(G),
    "closeness": nx.closeness_centrality(G),
    "harmonic": nx.harmonic_centrality(G),
    "betweenness": nx.betweenness_centrality(G),
    "eigenvector": nx.eigenvector_centrality_numpy(G, weight=None),
    "katz": nx.katz_centrality_numpy(G, alpha=0.5 / lam1, beta=1.0, weight=None),
    "pagerank": nx.pagerank(G, alpha=0.85, weight=None),
    "k-core": nx.core_number(G),
}
print("最大特征值 λ1 = %.3f，Katz 取 α = 0.5/λ1 = %.4f" % (lam1, 0.5 / lam1))
for name, c in C.items():
    print("%-12s 前 5: %s" % (name, sorted(c, key=c.get, reverse=True)[:5]))

names = list(C)
X = np.array([[C[m][i] for i in G] for m in names])
rho = spearmanr(X.T).correlation
print("\n与度中心性的 Spearman 秩相关：")
for m, r in zip(names, rho[0]):
    print("  %-12s %.2f" % (m, r))

# 作图：8 种中心性两两之间的 Spearman 秩相关热图
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.4, 5.2))
im = ax.imshow(rho, cmap="RdBu_r", vmin=-1, vmax=1)
for i in range(len(names)):
    for j in range(len(names)):
        ax.text(j, i, "%.2f" % rho[i, j], ha="center", va="center", fontsize=8,
                color="white" if rho[i, j] > 0.8 else "black")
ax.set_xticks(range(len(names))); ax.set_xticklabels(names, rotation=45, ha="right")
ax.set_yticks(range(len(names))); ax.set_yticklabels(names)
fig.colorbar(im, ax=ax, label="Spearman rho")
ax.set_title("Centralities correlate but are not interchangeable", fontsize=10)
plt.tight_layout(); plt.show()

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